11.2. Производная как математическая модель

Рассмотрим общую задачу об определении мгновенной скорости движения точки, абсцисса которой есть функция времени: . Итак, в момент времени абсцисса точки равна , в момент времени её абсцисса будет , поэтому приращение абсциссы точки равно

= и .

Следовательно, первая производная от абсциссы движущейся точки по времени есть скорость (проекция скорости на ось – физический смысл производной), а вторая – т.е. проекция ускорения на ту же ось (физический смысл второй производной).

Аналогично, если – объём продукции, выпускаемой за время , то часть продукции , выпущенной за промежуток времени и отнесённая к , может быть истолкована как средняя производительность , а тогда под производительностью в данный момент времени естественно понимать производную , т.е. = (Экономический смысл производной).

Рисунок 11.2 – Модель стержня

Теперь рассмотрим задачу об определении плотности стержня в точке. Для этого (рисунок 11.2) левый конец стержня совместим с точкой а, правый – с точкой b и обозначим через абсциссу какой – либо точки этого стержня. Масса части стержня, расположенного левее точки , есть неубывающая функция и приращение , где равно массе участка стержня между точками и , а

есть средняя плотность распределения массы стержня на участке длиною . Переходя к пределу в последнем равенстве при , найдём плотность стержня в точке :

,

конечно при условии, что этот предел существует.

Решения приведённых задач по существу сводились к одной и той же операции: нахождению предела приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю. Существует очень много прикладных и научных задач, результатом решения которых является указанный предел. Отвлекаясь от физического смысла участвующих в таких задачах величин, мы приходим к единству таких математических моделей, к математической модели, общей для всех таких задач. В рассматриваемом случае такой моделью является производная.

Смысл – там, где змеи интеграла

Меж цифр и букв, меж d и f !

В. Брюсов

§ 12. Интеграл как математическая модель

12.1. Задачи, приводящие к понятию интеграла

Рассмотрим задачи из разных областей знания, связанные между собой единством математической модели.

1. Задача об определении площади криволинейной трапеции

Так называют плоскую фигуру (рисунок 12.1), ограниченную графиком непрерывной на отрезке функции , отрезком и прямыми и . При определении её площади, буем исходить из простейшей фигуры – прямоугольника, площадь которого легко вычисляется. Для решения задачи разобьём отрезок на равных частичных отрезков точками , и положим для общности , (рисунок 12.1) и на каждом из них построим прямоугольник с высотой, равной ординате в середине частичного отрезка: , – номер частичного отрезка. Поэтому площадь

(12.1)

где

, – интегральная сумма.

При

, S=

(геометрический смысл определённого интеграла). Формула (12.1) может быть применена и для приближённого вычисления площади криволинейной трапеции и определённого интеграла.

Рисунок 12.1 – Криволинейная трапеция

2. Задача об определении пути по известной зависимости скорости v (t) >0 от времени.

В этих условиях путь, пройденный точкой по траектории за промежуток времени от до равен (механический смысл определённого интеграла). Но этот же путь можно выразить и с помощью функции : , поэтому , а это и есть формула Ньютона – Лейбница, так как , т.е. – первообразная для .

Если – объём продукции, выпускаемый неким производителем за время , то производительность в момент времени будет: = . При таком толковании производной интеграл численно равен объему продукции, выпушенной за время от = до = , но этот же объем равен , а потому , а это и есть формула Ньютона – Лейбница, так как – первообразная для  .

Теперь отвлечёмся от конкретного содержания подынтегральных функций и их первообразных и запишем формулу Ньютона – Лейбница вообще для функции и её первообразной :

.

Различные интерпретации формулы Ньютона – Лейбница можно долго продолжать. Но и уже рассмотренные показывают, что она математически выражает глубокие связи, существующие в объективной действительности, и таким образом является математической моделью всех таких связей.