О полноте математической модели
Требование полноты математической модели состоит в том, что такая модель позволяет математическими средствами получить интересующее решение. Рассмотрим задачу.
При разложении газообразного оксида хлора объемом 100 мл (н.у.) была получена смесь хлора с кислородом объемом 150 мл. После поглощения хлора щелочью остался кислород объемом 100 мл. Плотность оксида по воздуху 2,34. Какова его формула? [18, с. 35].
Из
условия этой задачи без ущерба для дела
можно исключить всю информацию, кроме
той, что плотность оксида хлора по
воздуху равна 2,34, а потому его относительная
молекулярная масса будет
.
Запишем искомую формулу в виде
,
тогда для определения натуральных чисел
и
получим уравнение
,
из которого очевидно, что
не может быть больше 1, следовательно,
и
.
Учитывая, что
– число
натуральное, получим
и
– формула
оксида. Подчеркнем, что найденное нами
решение оптимально по числу исходных
данных первоначальной задачи, так как
в нём использована только информация
о плотности оксида хлора по воздуху и
дальнейшее уменьшения числа исходных
данных, очевидно, невозможно.
А вот широко известному литературному герою Шерлоку Холмсу, наоборот, не хватило исходных данных при расследовании одного преступления. И тогда для их пополнения наш герой с секундомером в руках провёл эксперимент по оценке минимального времени, которое потребовалось преступнику для преодоления расстояния от пункта А до пункта В. Включение этого времени в аксиоматику математической модели помогло Шерлоку Холмсу «вычислить» преступника.
3.3. О непротиворечивости модели
Недопустимо, чтобы математическая модель противоречила законам природы и тех наук, в которые она включается.
В этой связи рассмотрим задачу, условие которой приводится в нескольких публикациях.
На сжигание неизвестного вещества массой 5,4г израсходовали кислород массой 0,8г. При этом получились оксид углерода (IV) массой 8,8 г, азот массой 2,8 г и вода массой 1,8 г.
Определите молекулярную формулу соединения, зная, что относительная молекулярная масса его 27.
Уже
из формулировки этой задачи видно, что
её данные противоречат закону сохранения
массы: при химических реакциях масса
веществ, вступивших в реакцию, равна
массе веществ, образовавшихся в результате
реакции, тогда как
.
В условии опечатка: вместо 0,8г должно
быть 8,0 г.
Теперь без ущерба для определённости задачи исключим из её условия все количественные данные, кроме относительной молекулярной массы.
Поскольку
в результате реакции образовались оксид
углерода, азот и вода в состав соединения
входят углерод, азот и водород, причем
в его молекуле содержится только один
атом азота, на который приходится 14
единиц из 27, но тогда в оставшихся 13-ти
единицах может содержаться только 1
атом углерода (12 единиц), а остаток,
равный единице, приходится на водород.
Поэтому других элементов вещество не
содержит. Значит,
формула соединения. Просто и красиво.
3.4. О других требованиях
Важным является требование робастности (от английского слова robust «крепкий»), характеризующее устойчивость, добротность, «прочность» модельных решений по отношению к исходным данным, которые являются величинами приближёнными, так как их часто получают с помощью измерений и потому соответствующие им числа лишь приближенно выражают точные, но неизвестные нам значения реальных величин.
Если малые погрешности исходных данных будут вызывать малые погрешности получаемых результатов, то решение устойчиво, в противном случае – неустойчиво. Этот вопрос подробно освещается далее при рассмотрении линейных математических моделей.
Говоря о требовании продуктивности модели, отметим, что в ней данные должны легче поддаваться измерениям, чем получаемые, так как иначе теряет смысл построение и исследование соответствующей математической модели. В рассмотренной выше задаче при проведении реакции разложения оксида хлора нужно было затратить время, израсходовать некоторое количество вещества, измерить соответствующие объёмы и привести их к нормальным условиям (н. у.). В предложенном выше решении эта информация не нужна, поэтому оно эффективнее экономически и в этом смысле такая модель продуктивна.
Требование простоты модели, как правило, противоположно требованию её адекватности. Но только, как правило, поскольку нередко бывает и так, когда упрощение содержательной или математической модели улучшает её адекватность. Именно, поэтому, часто построив модель, приходится её преобразовывать, переходя к более простой модели. Так, мы поступали, отбрасывая всё лишнее, например, при установлении формулы оксида хлора при обсуждении вопроса о полноте математической модели.
И, конечно же, модель станет очень хорошей, если она одновременно будет удовлетворять всем перечисленным требованиям и оптимальной, если система исходных данных (аксиом) окажется ещё и независимой.
Действительное изображается в
мышлении не в целых числах, а в дробях.
Л. Фейербах