4.2.2. Потенциал гравитационного поля. Работа в гравитационном поле.

Используя закон всемирного тяготения (1), введем скалярную величину, характеризующую гравитационное поле, создаваемое точечной массой М получим j = -GM/r, (3)

где r - расстояние от точечной массыМ до рассматриваемой точки. Зависимость j(r) приведена на рис.2b

Величина j носит название потенциала гравитационного поля и является энергетической характеристикой поля. Потенциал численно равен работе по перемещению единичной массы (m = 1 кг) из данной точки гравитационного поля в бесконечность. Действительно, пусть в гравитационном поле, создаваемым точечной массой М, вдоль произвольной траектории перемещается точечная масса m. Элементарная работа dA гравитационной силы F=GMm/r² при перемещении массы m от массы М на расстояние dr (рис.2c) равна dA = -G(Mm/r²)dr. Знак минус появляется из-за того, что сила и перемещение в данном случае (рис.2c) противоположны по направлению. Отсюда работа перемещения массы m из точки 1 в точку 2 равна A₁₂ = dA =-Gmmdr/r² = m(GM/r₂ - GM/r₁), и она не зависит от траектории перемещения, а определяется только положением начальной 1 (r₁) и конечной 2 (r₂) точек. Следовательно, гравитационное поле точечной массы М является потенциальным, а гравитационные силы - консервативными. Поэтому работа А₁₂ может быть представлена как разность потенциальных энергий, которыми обладает масса m в начальной и конечной точках: A₁₂ = W_p(1) - W_p(2), где W_p(1)=mGM/r₁ иW_p(2)=mGM/r₂ - потенциальная энергия массы m в гравитационном поле массы М. Сравнивая выражения для W_p и (3), мы можем заключить, что работа А₁₂ по перемещению массы m из положения (1) в положение (2) в гравитационном поле точечной массы М может быть записана в виде A₁₂ = m(j ₁ - j₂), где j₁ и j₂ - потенциалы гравитационного поля в точках 1 и 2. Если считать, что r₂®¥ и принять W_p(2) = 0, то потенциальную энергию массы m в гравитационном поле массы М можно определить как W_p = -GmM/r, а потенциал численно равен работе по перемещению единичной массы (m = 1 кг) из данной точки гравитационного поля в бесконечность.

Показано, что g и j связаны уравнением g=-gradj,гдеgradg=(¶g_x/¶x)i+(¶g_y/¶y)j+(¶g_z/¶z)k, а знак минус показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала.

Для графического изображения распределения потенциала гравитационного поля пользуются эквипотенциальными поверхностями - поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Если поле создается точечной массой М, то его потенциал j = -GM/r и таким образом эквипотенциальные поверхности в данном случае - концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечной массы - радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечной массы перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Отметим, что линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Таким образом, зная расположение линий напряженности гравитационного поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля.