5.5.Закон взаимосвязи массы и энергии

Если учесть, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном перемещении равно работе сил на этом перемещении dW_k= dA =Fdr,то можно получить dW_k = d[m_oc²a] = c²dm,т.е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы. Эйнштейн обобщил это положение, предположив, что оно справедливо и для полной энергии частицы dE = c²dm или, проинтегрировав, E = mc² = m_oc²a. (10)

Последнее уравнение выражает фундаментальный закон природы - закон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии (в полную энергию не входит потенциальная энергия тела во внешнем силовом поле). Можно установить связь между Е и импульсом частицы E² = m²c⁴ = m_o²c⁴ + p²c².

Отметим, что покоящееся тело также обладает энергией E_o = m_oc², (11)

которая называется энергией покоя.

Чтобы охарактеризовать прочность связей системы частиц (например, атомного ядра как системы, состоящей из нуклонов) вводят понятие энергии связи. Энергия связи равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить систему на составные части (например, атомное ядро на нуклоны): Е_св = m_oic² - M_oc², где m_oi - масса покоя i-частицы в свободном состоянии, M_o - масса покоя системы, состоящей из n-частиц.

6.Механика твердого тела

6.1.Момент инерции

Моментом инерции тела (системы n-тел) относительно данной оси называется скалярная величина

J = m_ir_i², где r_i - расстояние i-точки массы m_i до оси, или в случае непрерывного распределения массJ = r²dm.

Значения J: для полого тонкостенного цилиндра радиуса R (ось является осью симметрии цилиндра) J = mR²; для сплошного цилиндра (диска) радиуса R (ось такая же) J=mR²/2; для прямого тонкого стержня длины l: ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину J=ml²/12, ось перпендикулярна стержню и проходит через один его конец J=ml²/3; для шара радиуса R (ось проходит через центр шара) J=2mR²/5.

6.2.Кинетическая энергия вращения абсолютно твердого тела вращающегося около неподвижной оси z с угловой скоростью w равна W_вр = J_zw²/2, где J_z - момент инерции тела относительно оси z. Сравнивая последнее выражение с выражением для кинетической энергии движущегося тела W_k=mv²/2, можем сделать вывод, что момент инерции - это мера инертности тела при вращательном движении.

Если цилиндр скатывается с наклонной плоскости без скольжения, то кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения W_k=mv_c²/2 + J_cw²/2, где m - масса тела, v_c - скорость центра массы тела, J_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр массы, w - угловая скорость тела.

6.3.Оси свободного вращения, главные оси инерции твердого тела

Оси вращения твердого тела, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия внешних сил, называются осями свободного вращения. Три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения, проходящие через центр масс тела, называются главными осями инерции твердого тела. Например, для однородного цилиндра одна из главных осей инерции есть его геометрическая ось, а остальные две могут быть проведены через центр масс в плоскости, перпендикулярной геометрической оси цилиндра. Для шара главными осями инерции являются любые три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр масс.