5.Специальная теория относительности

5.1.Преобразования Галилея. Механический принцип относительности.

Рассмотрим две системы отсчета k (с координатными осями х, y , z) и K (с координатными осями X, Y, Z), движущиеся относительно друг друга равномерно и прямолинейно со скоростью u, направленной вдоль радиуса-вектора r_o=ut, проведенного из o в O (рис.1a). Связь между координатами произвольной точки в обеих системах:

r =R +r_o =R +ut, (1a)

или x = X + u_xt, y = Y + u_yt, z = Z + u_zt, (1b)

где u_x, u_y, u_z- проекции вектора u на оси.

Уравнения (1) называются преобразованиями координат Галилея. Мы в дальнейшем будем рассматривать случай, когда система K движется со скоростью v вдоль положительного направления оси x системы k (рис.1b). Для этого случая переход от одной инерциальной системы к другой может быть записан в виде

k® K: X= x - vt, Y= y, Z= z,

K® k: x = X + vt, y = Y, z = Z. (1с)

Y

y Рис.1а y Y Рис.1b

K

kuk K

0 X

r_o

o x or_o0ux,X

z Z

z Z

Кроме того, в классической механики считается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. преобразования (1) следует дополнить уравнением t = T. (1d)

Продифферинцировав выражения (1a-c) по времени, получим правило сложения скоростей в классической механике v =V+u, (2a)

откуда можно получить правило преобразований ускорения a = dv/dt = d(V+u)/dt = dV/dt =A, (2b)

т.е. ускорение точки в системах k и K, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно, одинаково. Следовательно, если на точку другие тела не действуют (а= 0), то, согласно (2b), и A = 0, т.е. система K является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится).

Уравнение (2b) выражает механический принцип относительности (принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета, а уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой не изменяются, т.е. являются инвариантами по отношению к преобразованиям координат Галилея. Из этого принципа, в частности, следует, что никакими механическим опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится она или движется равномерно и прямолинейно.

Преобразования Галилея не изменяют расстояния l₁₂ = [(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]^1/2 между двумя точками (x₁,y₁,z₁) и (x₂,y₂,z₂) трехмерного пространства и промежутки времени t₁₂ = t₂ - t₁ между двумя событиями. Иными словами, величины l₁₂ и t₁₂ являются инвариантами относительно преобразований Галилея. Кроме того, пространственные и временные преобразования являются независимыми (время является единым для всех инерциальных системы отсчета).