5.2.2.Длительность событий в разных системах отсчета

Пусть в некоторой точке х системы k происходит событие длительности t_o=t₁-t₂ (t₁,t₂ - моменты начала и конца события). Тогда из преобразований Лоренца (3) можно получить, что длительность этого события в системе отсчета K t = T₁ - T₂ равно t = t_oa, (4)

и поскольку a > 1, то длительность события, происходящего в некоторой точке, наименьшая в той инерциальной системе отсчета, относительно которой эта точка неподвижна. Иными словами, часы, движущиеся относительно инерциальной системы отсчета, идут медленнее покоящихся часов. Таким образом, промежуток времени между двумя событиями не является инвариантом относительно преобразований Лоренца.

Отметим, что известный “парадокс близнецов” , связанный с фантастическим полетом космонавта, не объясняется соотношением T=ta, поскольку система отсчета, связанная с космонавтом, не является инерциальной.

5.2.3. Длина тел в разных системах отсчета

Пусть в системе k имеется покоящийся стержень, расположенный вдоль оси x, имеющий длину l_o= x₂ - x₁ (x₁, x₂ - координаты начала и конца стержня, индекс о означает, что стержень в системе k покоится). Применяя к х₁ и х₂ преобразования Лоренца (3), получим, что длина стержня, измеренная в системе K, относительно которой он движется (l=X₂-X₁), равна l= l_oa, (5)

и поскольку a > 1, то линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения в a^-1 раз (лоренцово сокращение длины): линейные размеры тела наибольшие в той системе отсчета, относительно которой тело покоится. Иными словами, расстояние между двумя точками трехмерного пространства не является инвариантной величиной относительно преобразований Лоренца. Из соотношения (5) следует, что поперечные размеры тела не зависят от скорости его движения и одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

5.2.4.Релятивистский закон сложения скоростей

Пусть точка в системе k движется по направлению оси x со скоростью u, причем система k движется относительно системы K по направлению оси x со скоростьюv. Поскольку u = dx/dt и U=dX/dt, то преобразуя согласно (3) величины dx и dt: dx = (dX+vdT)a, dt = (dT+vdx/dt)a, получим релятивистский закон сложения скоростей

u = (U+v)/(1+vU/c²), U= (u-v)/(1-vu/c²). (6)

Видно, что если скорости v и u малы по сравнению со скоростью света с, то последние преобразования переходят в закон сложения скоростей классической механики (2а). Таким образом, законы релятивистской механики в предельном случае малых скоростей (по сравнению со скоростью света) переходят в законы классической механики.

Релятивистский закон сложения скоростей подчиняется второму постулату Эйнштейна: при сложении любых скоростей результирующая скорость не может превысить скорость света в вакууме (скорость света в вакууме есть предельная скорость, которую невозможно превысить ).