2.6.Уравнение движения тела переменной массы
Такая ситуация возникает, например, при движении ракеты за счет истечения газов со скоростью u относительно ракеты. Пусть в момент времени t масса ракеты m, ее скорость v, а через время dt ее масса уменьшилась на dm, а скорость изменилась на dv. Тогда за время dt импульс ракеты изменился на dp= mdv+udm (здесь отброшен малый член dmdv), и если на ракету действует внешняя сила F, то dp=Fdt и, следовательно, уравнение движения для переменной массы имеет видm(dv/dt) =F-u(dm/dt) или ma=F +Fp, гдеF= -u(dm/dt) называется реактивной силой.
Если стартовая
масса ракеты mo,
стартовая скорость равна нулю и на
ракету не действуют внешние силы (F=0),
то получим v =
= uln(mo/m)
(формула
Циолковского)
: чем больше
конечная масса ракеты m, тем больше
должна быть стартовая масса mo;
и чем больше скорость истечения газов
u, тем больше может быть m при данной mo.
3.Работа и энергия.
3.1.Работа, мощность
3.1.1.Работа сил
Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать этот процесс, вводится понятие работы силы.
Пусть тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, направление которой совпадает с направлением перемещенияr (рис.1а). Тогда произведение модуля силы F на длину пути s называется работой силы F:
A = Fs.
F v
Рис.1а Рис.1b Рис.1с
Fs
F
a dr
2
dr F v dr Fsv
a
1
Если направление силы F составляет с направлением перемещения r уголa (рис.1b), то работа силы F есть произведение проекции силы на направление перемещения (Fs = Fcosa) на длину пути s: A = Fs s = Fscosa. (1)
Работа - величина скалярная . Из формулы (1а) следует, что если направления вектора силы F и вектора скорости v (перемещения r) совпадают (a < p/2), то работа силы положительна; если эти векторы направлены в разные стороны (a > p/2), то работа силы отрицательна; если сила направлена перпендикулярно перемещению (a = p/2), то работа силы равна нулю.
В общем случае
сила в процессе совершения работы может
изменяться как по модулю, так и по
направлению и поэтому формулой (1)
пользоваться нельзя. Однако можно
рассмотреть элементарное
перемещение
тела dr
под действием
силы F,
которая на этом перемещении остается
постоянной, а само перемещение можно
считать прямолинейным (рис.1с). Величина
dA =Fdr= Fcosadsназывается
элементарной
работой силы
F на
перемещении dr.
Тогда работа
силы F на
участке траектории от точки 1 до точки
2 равна A
=
Fs
ds =
Fcosa
ds.
Если зависимость F от пути s вдоль траектории 1-2 известна, то искомая работа А определяется на графике площадью не закрашенной фигуры (рис.2). Элементарная работа dA показана закрашенным прямоугольником.
Работа измеряется в джоулях [Дж], 1 Дж - работа, совершаемая силой 1 Н на пути 1 м: 1 Дж = 1 Н.м.
Fs
dA Рис.2.
2
1
A
s
ds