V V

tn

a_t a_t

a

t a a_n

n

a_n Рис.4а Рис.4b

При ускоренном движении вектор a_t совпадает по направлению с вектором скорости v (рис.4а), а при замедленном движении эти векторы направлены в противоположные стороны (рис.4b). Если a_t = const, то движение называется равнопеременным (равноускоренным (a_t >0) или равнозамедленным (a_t<0)). Если a_t = 0, то движение называется равномерным.

Составляющая a_n называется нормальным (центростремительным) ускорением, она направлена по нормали к траектории к центру кривизны траектории (рис.4a,b) и характеризует быстроту изменения скорости по направлению a_n = v²/r.

Если a_n = 0, то движение является прямолинейным. Если a_n = const, то для плоской траектории движение осуществляется по окружности (для пространственной траектории - по винтовой линии).

1.3.Виды движения

В зависимости от тангенциальной и нормальной составляющих ускорения может быть девять видов движения. Мы рассмотрим четыре наиболее важных вида движения:

1.3.1.Прямолинейное равномерное движение: a_t = 0, a_n = 0, кинематическое уравнение этого движения s = vt.

1.3.2.Прямолинейное равноускоренное (равнопеременное) движение (равноускоренное или равнозамедленное):

a_t = a = const, a_n = 0, кинематические уравнения этого движения v = v_o ± at, s = vdt =(v_o ± at)dt = v_ot ± at²/2,

здесь v_o - скорость в начальный момент времени.

1.3.3.Равноускоренное (равнопеременное) движение по окружности (для пространственной траектории - по спирали): a_t = const, a_n = сonst; из формулы a_n=v²/r следует, что радиус кривизны траектории постоянен, т.е. имеет место движение по окружности.

Для описания движения по окружности вводят понятие угловой скорости (векторная величина)

w= lim(Dj/Dt) = dj/dt,

Dt® 0

векторw направлен вдоль оси вращения так же как и вектор элементарного поворота dj по правилу правого винта , здесь j - угол поворота (рис.5a). Единица измерения угловой скорости [радиан/с].

Угловое ускорение есть векторная величина, равная e = dw/dt, причем вектор e cонаправлен вектору w при ускоренном движении и противонаправлен ему при замедленном движении (рис.5b,c).

Связь между линейными и угловыми величинами (рис.5):

линейная скорость v = lim(Ds/Dt) = lim(RDj/ Dt) = Rw,

Dt® 0 Dt® 0

пройденный путь s = Rj,

тангенциальная составляющая ускорения a_t = dv/dt = d(wR)/dt = Re,

нормальная составляющая ускорения a_n = v²/R = w²R.

dw/dt>0 dw/dt<0

w w₂ w₁

w₁

dj e w₂

R

0Dj v 0 0

e

Рис.5а Рис.5b Рис.5с

[на всех рисунках поворот совершается против часовой стрелки]

Для равнопеременного движения по окружности (e = const) имеем w = w_o ± et, j = w_ot ± et²/2,

где w_o - начальная угловая скорость.

1.3.4.Равномерное движение по окружности: a_t = 0, a_n = сonst; отметим особо, что в этом случае хотя a_n = сonst, но вектор a_n изменяется, так как направление векторов a_n разное в разных точках окружности. Для равномерного движения по окружности (равномерного вращения) w=const и кинематическое уравнение имеет вид j = wt. Связь между линейными и угловыми величинами (рис.5): s = Rj, v = Rw, a_n = w²R, где R - радиус окружности.

Промежуток времени T = 2p/w, в течение которого точка, равномерно вращаясь, совершает один поворот (т.е.поворачивается на угол j = 2p), называется периодом вращения. Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности в единицу времени, называется частотой вращения n = 1/T = w/2p. Отсюда w = 2pn.