5.2.5.Масса в релятивистской механике

Масса движущихся частиц зависит от их скорости m = m_oa, (7)

где m_o - масса покоя частицы (т.е. масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое), m - релятивистская масса. Следовательно, релятивистская масса одной и той же частицы различна в разных инерциальных системах отсчета.

5.3.Четырехмерное пространство-время. Интервал между событиями.

Из преобразований Лоренца следует важный вывод, что как расстояние, так и промежуток времени между двумя событиями меняются при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Кроме того, пространственные и временные преобразования не являются независимыми - устанавливается взаимосвязь пространства и времени. Иными словами, теория Эйнштейна оперирует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие времени, а рассматривает неразрывно связанные пространственные и временные координаты, образующие четырехмерное пространство-время.

В классической механике каждое событие характеризовалось тремя пространственными координатами (x,y,z) и параметром - временем t, причем расстояние между двумя точками трехмерного пространства

l₁₂ = [(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]^1/2 является инвариантом по отношению к галилеевым преобразованиям координат - эта величина не зависит от выбора инерциальной системы отсчета.

В релятивистской механике величина l₁₂ не является инвариантом относительно преобразований Лоренца. Таким инвариантом оказывается интервал между двумя событиями

s₁₂ = [c²(t₂-t₁)² -(x₂-x₁)²-(y₂-y₁)²-(z₂-z₁)²]^1/2 = [c²t₁₂² -l₁₂²]^1/2 , (8)

где t₁₂=t₂-t₁.

Инвариантность интервала означает, что несмотря на относительность длин и промежутков времени течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета, а пространство и время органически связаны между собой, образуя четырехмерный мир пространство-время.

5.4.Основной закон релятивистской механики

Основной закон динамики Ньютона F= dp/dt = d(mv)/dt инвариантен относительно преобразований Лоренца , если учесть, что p= mv= m_ova - релятивистский импульс материальной точки. Таким образом, основной закон релятивистской динамики материальной точки имеет вид F= d[m_ova]/dt = dp/dt. (9)

Отметим, что релятивистский импульс р и релятивистская сила F не являются инвариантными величинами. Более того, в общем случае ускорение не совпадает по направлению с силой. Действительно, ускорение, сообщаемое материальной точке силой F равно a= dv/dt =F/m - (v/m)(dm/dt) = (1/m)[F - (Fv)]и, следовательно, в отличие от классической механики, в релятивистской механике ускорение материальной точки в общем случае не совпадает по направлению с силой, вызывающей этой ускорение. Вектор а коллинеарен силе F только в двух случаях:

1.сила F направлена перпендикулярно к скорости v (поперечная сила), так что (Fv)=0 и a=F/m=(F/m_o)a^-1;

2. сила F направлена параллельно вектору скорости v (продольная сила), так что

v(Fv)=v²F и a=(F/m)a^-2= (F/m_o)a^-3/2.

Продольная сила сообщает материальной точке ускорение в a² раз меньшее, чем такая же по величине поперечная сила. Это связано с тем, что поперечная сила вызывает изменение скорости точки только по направлению (модуль скорости и релятивистская масса m точки не изменяются), а продольная сила вызывает изменение значения модуля скорости точки и ее массы.

В силу однородности пространства в релятивистской механике выполняется закон сохранения релятивистского импульса: в замкнутой системе релятивистский импульс не изменяется с течением времени.

При v<<c уравнение (9) переходит в основной закон классической механики F=ma.