2. Динамика материальной точки (законы Ньютона)

2.1. Первый закон Ньютона

Всякая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее изменить это состояние. Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона называются инерциальными системами.

Стремление тела сохранить состояние покоя или равномерного прямолинейного движения называется инертностью и поэтому первый закон Ньютона называют законом инерции. Следует особо подчеркнуть, что первый закон Ньютона утверждает существование инерциальных систем отсчета (т.е. систем, в которых выполняется первый закон Ньютона).

Чтобы описать воздействия, упомянутые в первом законе Ньютона, вводится понятие - сила.

Сила - векторная величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело (материальную точку) со стороны других тел, в результате которого тело изменяет скорость движения (т.е. приобретает ускорение).

2.2.Второй закон Ньютона (основной закон динамики)

Ускорение a, приобретаемое материальной точкой (телом), пропорционально вызывающей его силе F и совпадает с нею по направлению a = F/mили F = ma = m(dv/dt),(1a)

где положительный скалярный коэффициент пропорциональности m, постоянный для каждого конкретного тела, носит название массы. Второй закон Ньютона справедлив только в инерциальных системах.

Масса является мерой инертности тела : чем больше инертность тела (а следовательно, и его масса), тем меньшее ускорение оно приобретает под действием одной и той же силы. Для сравнения масс m₁ и m₂ двух тел достаточно сравнить ускорения а₁ и а₂, приобретаемые ими под действием одной и той же силы (из (1) следует, что m₁/m₂ = a₂/а₁. Обычно массу тела определяют, сравнивая ее с массой эталонных тел (гирь) путем взвешивания на рычажных весах. Этот метод основан на том, что вес тела определяется как P = mg, где величина ускорения свободного падения g в данной точке земного шара одинакова для всех тел. Поэтому отношение масс двух тел равно m₂/m₁ = P₂/P₁.

Масса измеряется в килограммах [кг], а сила - в ньютонах [Н]: 1 Н - сила, которая массе 1 кг сообщает ускорение 1 м/с².

Учитывая, что масса тела есть величина постоянная, выражение (1a) можно записать в виде так называемого уравнения движения материальной точки (основной закон динамики) F = d(mv)/dt = dp/dt, (1b)

где векторная величинаp= mv называется импульсом (количеством движения) материальной точки.

Уравнение (1b) дает возможность по иному сформулировать второй закон Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Основной закон динамики материальной точки выражает принцип причинности в классической механике: зная начальное состояние материальной точки (ее координаты и скорость в начальный момент времени) и действующую на нее силу, по уравнению (1c) можно рассчитать состояние материальной точки в любой последующий момент времени.

В механике действует принцип независимости действия сил : если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение согласно второму закону Ньютона, как будто других сил не было. Т.о., ускорение а, приобретаемое материальной точкой массы m под действием одновременно приложенных к ней сил F₁,F₂,...,F_n равно a=a_i=F_i/m=(1/m)F_i=F/m,

где F = F_i - результирующая сила. Т.о., если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то согласно этому принципу под силой F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

Для плоской траектории вектор F направлен к центру кривизны траектории (как и вектор а) и он может быть разложен на две составляющие - касательную к траектории (касательная или тангенциальная сила, F_t) и нормальную к траектории (нормальная или центростремительная сила, F_n): F =F_t +F_n, причем согласно соотношению (1) касательное и нормальные ускорения равны а_t =F_t /m,a_n =F_n/m,а для нормальной (центростремительной) силы имеем F_n = mv²/R, где R - радиус кривизны траектории.

Если F_n= 0, то имеем прямолинейное движение; если F_n= const, то имеем движение по окружности (для пространственной траектории - по винтовой линии). Если F_t= 0, то имеем равномерное движение; если F_t = const, то имеем равноускоренное движение (если вектор F_t совпадает по направлению с вектором скорости v, то движение равноускоренное; если эти векторы направлены в разные стороны, то движение равнозамедленное).

С учетом выше приведенного рассмотрения первый закон Ньютона можно сформулировать несколько иначе: ускорение материальной точки в инерциальной системе отсчета равно нулю в случае равенства нулю равнодействующей сил или при отсутствии воздействия на тело со стороны других тел.

Первый закон Ньютона можно получить из второго закона, однако первый закон является самостоятельным, поскольку постулирует существование инерциальных систем отсчета.