1.1.7.1 Критерій 2 Пірсона.

З метою перевірки розглядатимемо емпіричні (виміряні) n_i та теоретичні (розраховані) частоти - попадання величини X в часткові інтервали (х_і, х_1+i) однакової довжини, на які ділять весь інтервал спосте-режуваних значень величини [10]. При рівні значимості необхідно перевірити нульову гіпотезу: генеральна сукупність розподілена за зако-ном А.

В якості критерію перевірки нульової гіпотези приймають випадкову величину

(1.21)

де s - кількість часткових інтервалів. Якщо під час вимірювань результати спостерігаються менше ніж очікувану кількість раз n_i < , то значення ² зростає, а значить нульова гіпотеза не підтверджується.

Чим менше відрізняються емпіричні (виміряні) та теоретичні (розра-ховані) частоти, тим менша величина критерію, тобто він характеризує від-

мінність емпіричного та теоретичного розподілів.

Доведено, що при n∞ закон розподілу величини незалежно від того, за яким законом розподілена генеральна сукупність, наближається до закону розподілу ² з k=s-r-i ступенями свободи, де r - кількість параметрів закону розподілу, які наведені в результатах вимірювань. Критичні точки розподілу ² наведені в таблиці 1.2. Правостороння критична область для критерію Пірсона ²>² _кр.(, k) це - область неприйняття нульової гіпотези, а ² <²_кр.(, k) - область прийняття нульової гіпотези.

Таким чином, якщо необхідно перевірити, чи розподілена генеральна сукупність нормально, можна скористатися критерієм Пірсона. Один із способів вирішення цього завдання полягає в такому:

1. Весь інтервал значень величини X, одержаних при спостережен-нях, розбивають на s часткових інтервалів (x_і, х_і+1). В якості частоти п_і і-го інтервалу вибирають кількість значень, які потрапили в і-ий інтервал. При цьому кількість спостережень п повинна бути достатньо великою, не менше 50. Кожен частковий інтервал повинен містити не менше 5 значень, а інтервали з меншою кількістю значень об’єднують;

2 . Розраховують середнє значення х та статистичну оцінку серед-нього квадратичного відхилення S_x ряду результатів спостережень;

3. Нормують величину X, тобто переходять до величини

і розраховують межі нових інтервалів (z_i; z_i+1)

, (1.22)

причому за z₁ приймають - , а за z_s+1 (права границя останнього часткового інтервалу) + ;

4. Розраховують теоретичні ймовірності р_i попадання X в інтервал (x_i , x_i+]) з рівняння

, (1.23)

де Ф(z)- нормована функція Лапласа, і знаходять теоретичні частоти

.

Таблиця 1.2 - Критичні точки розподілу ²

Кількість ступенів свободи k	Рівень значимості 
	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
1	6,6	5,0	3,5	0,0039	0,0009	0,0001
2	9,2	7,4	6,0	0,1030	0,0510	0,0200
3	11,3	9,4	7,8	0,3520	0,2160	0,1150

Продовження таблиці 1.2

4	13,3	11,1	9,5	0,711	0,484	0,297
5	15,1	12,8	11,1	1,150	0,831	0,554
6	l6,8	14,4	12,6	1,640	1,240	0,572
7	18,5	16,0	14,1	2,170	1,690	1,240
8	20,1	17,5	15,5	2,730	2,180	1,650
9	21,7	19,0	36,9	3,330	2,700	2,090
10	23,2	20,5	18,3	3,940	3,250	2,560
11	24,7	21,9	19,7	4,570	3,820	3,050
12	26,2	23,3	21,0	5,230	4,400	3,570
13	27,7	24,7	22,4	5,890	5,010	4,110
14	29,1	26,1	23,7	6,570	5,630	4,660
15	30,6	27,5	25,0	7,260	6,260	5,230
16	32,0	28,8	26,3	7,960	6,910	5,810
17	33,4	30,2	27,6	5,670	7,560	6,410
18	34,8	31,5	28,9	9,390	8,230	7,010
19	36,2	32,9	30,1	10,10	8,910	7,630
20	37,6	34,2	31,4	10,90	9,590	8,260
21	38,9	35,5	32,7	11,60	10,30	8,900
22	40,3	36,8	33,9	12,30	11,00	9,540
23	41,6	38,1	35,2	13,10	11,70	10,20
24	43,0	39,4	36,4	13,80	12,40	10,90
25	44,3	40,6	37,7	14,60	13,10	11,50
26	45,6	41,9	38,9	15,40	13,80	12,20
27	47,0	43,2	40,1	16,20	14,60	12,90
28	48,3	44,5	41,3	16,90	15,30	13,60
29	49,6	45,7	42,6	17,70	16,00	14,30
30	50,9	47,0	43,8	18,50	16,80	15,00

Подальша процедура цілком зрозуміла.