4.2.3 Дробовий факторний експеримент

ПФЕ потребує великої кількості дослідів, причому частина з них має мало інформації. Дробовий факторний експеримент (ДФЕ) дозволяє скоротити кількість дослідів і в той самий час отримати основний об’єм необхідної інформації.

Експеримент, який складається за об’ємом тільки з частини ПФЕ, називається дробовою реплікою. Є піврепліка (1/2 репліки), 1/4 репліки, 1/8 репліки тощо. Умовні позначення дробових реплік і кількість дослідів наведені нижче.

Таблиця 4.6 - Умовні позначення дробових реплік і кількість дослідів

Кількість факторів	Дробова репліка	Умовне позначення	Кількість дослідів
			для дробової репліки	для ПФЕ
3	1/2 репліки від 23	23-1	4	8
4	1/2 репліки від 24	24-1	8	16
5	1/4 репліки від 25	25-2	8	32
6	1/8 репліки від 26	26-3	8	64
7	1/16 репліки від 27	27-4	8	128
5	1/2 репліки від 25	25-1	16	32
6	1/4 репліки від 26	26-2	16	64
7	1/8 репліки від 27	27-3	16	128
8	1/16 репліки від 28	28-4	16	256

Процес утворення реплік для постановки двофакторного експерименту видно з прикладу.

Приклад. Задано матрицю для повного факторного експерименту 2².

Таблиця 4.7 - Початкові дані для прикладу

№ досліду	Х0	Х1	Х2	(Х2) Х1 Х2
1	+	-	-	+
2	+	+	-	-
3	+	-	+	-
4	+	+	+	+

Параметром оптимізації є рівняння:

. (4.44)

Якщо є підстави вважати, що у вибраних інтервалах варіювання Y може бути поданий як лінійна модель (тобто ), то досить визначити тільки три коефіцієнти: . Тоді кількість дослідів буде більше кількості шуканих коефіцієнтів, тому стовпець можна використати для нового фактора . Таким чином, маємо, що замість восьми дослідів в ПФЕ для трьох факторів можна провести тільки чотири досліди.

При цьому оцінки фактичних коефіцієнтів є вже змішаними: ; ; . Ефект цього змішування знижує точність оцінок. Однак, оскільки ми вважаємо модель лінійною і взаємодії досить малими, то точність оцінок буде достатньою.

Складена матриця буде півреплікою від ПФЕ 2³, яка позначається 2^3-1. При виборі більш складних реплік застосовуються спеціальні правила. Ефективність застосування дробових реплік залежить від вдалого вибору системи змішування лінійних ефектів з ефектами взаємодій. Репліки, в яких ефекти змішані зі взаємодіями найвищого порядку, є найефективнішими. Вони мають найбільшу дозволяючу спроможність.

В реальних умовах розробник може не мати твердої впевненості в відсутності тієї чи іншої взаємодії факторів. В цьому випадку потрібно знати, коли і які ефекти визначаються спільно, тобто визначити розподільну здатність дробових реплік. Для цього зручно використовувати поняття “визначальні контрасти” і “генерувальні співвідношення”.

Розглянемо ці поняття спочатку на прикладі піврепліки 2^3-1.

При побудові піврепліки 2^3-1 лише дві можливості: і . Ці дві піврепліки наведені в таблиці 4.8.

Таблиця 4.8 - Піврепліки 2^3-1

№ досліду	матриця І Х3=Х1Х2
	Х1	Х2	Х3	Х3 Х3 Х3
1	+	+	+	+
2	-	-	+	+
3	+	-	-	+
4	-	+	-	+
	матриця ІІ Х3=-Х1Х2
	Х1	Х2	Х3	Х3 Х3 Х3
1	+	+	-	-
2	-	-	-	-
3	+	-	+	-
4	-	+	+	-

Для добутку трьох стовпців матриці І маємо:

,

а для матриці ІІ:

.

Добутки стовпців матриць, що дорівнюють +1 або –1, називаються визначальними контрастами. Контраст допомагає знайти змішані ефекти. Для визначення, який ефект змішаний з даними, потрібно помножити обидві частини визначального контраста на стовпець, що відповідає даному ефекту. Так, для І матриці, де визначальний контраст , маємо:

; (4.45)

; (4.46)

. (4.47)

Це означає, що коефіцієнти лінійного рівняння будуть оцінками лінійних ефектів:

B₁₁+₂₃; B₂₂+₁₃; B₃₃+_12. (4.48)

Співвідношення, що показує, з яким з ефектів змішаний даний ефект, називається, генерувальним співідношенням.

Піврепліки, в яких основні ефекти змішані з двофакторними взаємодіями, називаються планами з розподільною здатністю ІІІ (з найбільшою кількістю факторів у визначальному контрасті). Вони позначаються . При виборі піврепліки 2^4-1 можливі вісім рішень (таблиця 4.9).

Репліки 1-7 мают по три фактори в визначальному контрасті, а 7 і 8 – по чотири. Тому репліки 7 і 8 мають максимальну розподільну здатність. Їх називають головними. Це пов’язано з тим, що часто потрійні взаємодії не такі важливі, як парні.

Р епліки, в яких немає ні одного головного ефекта, змішаного з іншим головним ефектом або парною взаємодією, називаються планами з розподільну здатністю ІV (за найбільшою кількістю факторів в визначальному контрасті) і позначаються .

Таблиця 4.9 - Можливі вісім рішень при виборі напіврепліки 2^4-1

Номер рішення	Варіант рішення	Номер рішення	Варіант рішення
1		5
2		6
3		7
4		8

Приклад. Необхідно спланувати експеримент з метою вибору оптимальних параметрів пристрою для отримання максимального значення вихідної характеристики Y. Вихідні значення факторів і інтервали варіювання задані в таблиці 4.9.

Для матриці планування вибираємо напіврепліку 2⁴, задану генерувальним співвідношенням . Визначальним контрастом є .

Множачи визначальний контраст , визначимо спільно оцінки лінійних ефектів і взаємодій

; (4.49)

; (4.50)

; (4.51)

. (4.52)

Таблиця 4.9 - Вихідні значення факторів і інтервали варіювання

Фактор	Рівні факторів			Інтервал варіювання
	-1	0	+1
	200	220	240	20
	3	6	9	3
	40	100	160	60
	1	2	3	1

Матриця планування і результати експерименту наведені в таблиці 4.10.

Таблиця 4.10 - Матриця планування і результати експерименту

№ досліду	Х0	Х1	Х2	Х3	Х4
1	+	+	+	-	-	+	-	-	10
2	+	-	-	-	-	+	+	+	9
3	+	+	-	-	+	-	-	+	15
4	+	-	+	-	+	-	+	-	25
5	+	+	+	+	+	+	+	+	26
6	+	-	-	+	+	+	-	-	14
7	+	+	-	+	-	-	+	-	5
8	+	-	+	+	-	-	-	+	20
	15	-1,5	4,75	0,75	4,5	-0,75	0,75	2

Коефіцієнти обчислюються за формулами, наведеними вище. Вони дорівнюють:

, (4.53)

(4.54)

тощо. Таким чином, аналітичний вираз для Y набуде вигляду

. (4.55)

Подальший аналіз подібних виразів, їх зміна і проведення нових експериментів ведуться відповідно до порядку, викладеного нижче.