1.1.5 Аналіз результатів повторних спостережень
Як уже зазначалося, при проведенні повторних спостережень зміню-
ваність їх значень викликана не лише випадковими причинами, але й дрейфом впливаючих величин. Звичайно, оцінка невизначеності за типом А враховуватиме вплив як випадкових факторів, так і вплив дрейфу, однак якщо величина дрейфу за час спостережень, значна, це може призвести до того, що середнє значення із результатів спостережень буде поганою оцінкою очікуваного значення. В таких випадках бажано вплив дрейфу виявити і, по можливості, або внести поправки в результати повторних спостережень, або повторити вимірювання, усунувши дрейф.
Аналіз впливу результатів повторних спостережень на наявність дрейфу впливаючих величин можна провести методами статистичної перевірки статистичних гіпотез. До таких методів відноситься, зокрема, метод послідовних різниць та метод порівняння середніх.
Суть методу послідовних різниць наступна. Якщо в процесі вимірювання внаслідок дрейфу відбувалося зміщення центру групування результатів спостережень, то оцінка дисперсії згідно формули (1.2) дасть завищене значення в порівнянні зі значенням, яке б отримали в тому випадку, коли дрейф відсутній. В той же час на величину
.
(1.8)
зміщення центру групування результатів спостережень це впливає мало, оскільки за час між двома послідовними спостереженнями дрейф впливового фактора незначний, тобто відмінність результатів двох послідовних спостережень буде обумовлена в основному випадковими причинами. Тоді результат ділення
(1.9)
буде тим меншим, чим більший дрейф впливаючих величин, тобто його можна взяти за критерій зміщення центру групування результатів повторних спостережень.
Критична область для цього критерію (критерію Аббе) визначається як
. (1.10)
Значення Акр для різних рівнів значимості наведені в таблиці 1.1.
Таблиця 1.1 - Критичні точки критерію Аббе
η |
Акр при різних |
||
1 |
2 |
3 |
|
0.001
|
0.01
|
0.05
|
|
4
|
0.30
|
0.31
|
0.39
|
5
|
0.21
|
0.27
|
0.41
|
б
|
0.18
|
0.28
|
0.44
|
Продовження таблиці 1.1
7
|
0.19
|
0.3 1
|
0.47
|
8
|
0.20
|
0.33
|
0.49
|
9
|
0.22
|
0.35
|
0.51
|
10
|
0.24
|
0.38
|
0.53
|
11
|
0.26
|
0.40
|
0.55
|
12
|
0.28
|
0.41
|
0.56
|
13
|
0.30
|
0.43
|
0.58
|
14
|
0.31
|
0.45
|
0.59
|
15
|
0.33
|
0.46
|
0.60
|
16
|
0.34
|
0.48
|
0.61
|
17
|
0.36
|
0.49
|
0.62
|
18
|
0.37
|
0.50
|
0.63
|
19
|
0.38
|
0.51
|
0.64
|
20
|
0.39
|
0.52
|
0.65
|
Якщо розраховане значення критерію Аббе при заданому та n менше від Акр, то нульова гіпотеза про постійність центру групування результатів відкидається, тобто спостерігається зміщення результатів спостережень внаслідок дрейфу впливаючих величин.
Для
того, щоб виявити дрейф впливаючих
факторів методом порівняння середніх,
всю сукупність результатів спостережень
yi(i=1,n)
розбивають на дві сукупності y1i(i=1,
n-s)
та y2i(i=n-s,
n),
для
кожної з яких розраховують середні
значення
.
Нехай в результаті прямих вимірювань з багаторазовими спостере-женнями, проведених в однакових умовах, отримано ряд результатів спостережень y1.. ., yi,... yn .
Необхідно оцінити результат та похибку вимірювання - обробити ре-зультати повторних спостережень. Обробка результатів повторних спо-стережень містить в собі ряд операцій.
Перш за все, необхідно вилучити з результатів повторних спостережень відомі систематичні похибки, тобто отримати виправлені результати спостережень. Це робиться шляхом внесення в результати поправки, яка є величиною, що дорівнює за модулем відомій систематич-ній похибці і протилежна їй за знаком. Якщо всі результати спостережень містять постійну систематичну похибку, дозволяється вилучати її після розрахунку середнього значення з результатів спостережень.
Після
вилучення відомих систематичних похибок
знаходять середнє арифметичне виправлених
результатів спостережень yі,
яке приймають за результат вимірювання
(1.11)
При цьому необхідно пересвідчитись, що серед результатів спостере-жень немає аномальних, тобто таких, що містять надмірну похибку. Як правило, підозра падає на результати, які різко відрізняються від інших. Однак, відкидати такі результати без попередньої перевірки можна лише в тому випадку, якщо відома причина, за якою виникла надмірна похибка, так як в іншому разі можуть бути відкинуті результати, які не містять надмірної похибки, а є проявом закономірностей розсіювання.
Найбільш надійним методом виключення аномальних результатів є відкидання підозрілих результатів, коли для цього існують достатні підстави в процесі експерименту. Однак, іноді цей момент не враховують і промахи доводиться виявляти після проведення експерименту. В тому випадку, коли відомо, що закон розподілу результатів спостережень - нормальний, можна скористатись правилом 3, згідно з яким результат спостереження з імовірністю 0.9973 не повинен відрізнятись від середньо-го на величину, яка перевищує 3, де - середнє квадратичне відхилення результатів спостережень або його оцінка.
Перевірку нормальності розподілу слід проводити для виправлених результатів вимірювань, оскільки наявність в результатах спостережень змінної систематичної похибки призводить до того, що малі похибки спостерігаються рідше, а великі частіше, ніж в дійсності, тобто розподіл видозмінюється.
При кількості спостережень:
n>50 для перевірки рекомендується скористатись критерієм 2 Пірсона чи 2 Мізеса - Смірнова,
50>n>15 - складеним критерієм, який наведений в додатку ГОСТ 8.207-76 - критерієм Фішера,
n<15 перевірку не проводять тому, що надійність отриманого ре-зультату є низькою. В цьому випадку інформація про вид розподілу ре-зультатів спостережень повинна бути відома попередньо.
Якщо гіпотеза про нормальність розподілу не буде відкинута, то подальшу обробку проводять, як правило, згідно ГОСТ 8.207-76.
Наступним етапом обробки результатів спостережень є розрахунок оцінки середнього квадратичного відхилення випадкової похибки середнього арифметичного та довірчих границь випадкової похибки (якщо обробка проводиться по ГОСТ 8.207-76). Статистична оцінка середнього квадратичного відхилення середнього арифметичного визначається , як
.
(1.12)
Якщо результати спостережень розподілені нормально, можна знайти довірчі границі ε випадкової похибки результату вимірювання за формулою [10]
ε = ts Sx , (1.13)
де ts - відповідний коефіцієнт Ст’юдента для кількості ступенів свободи п-1 і вибраної довірчої імовірності Р.
Далі оцінюють середнє квадратичне відхилення невиключеної систематичної похибки с результату вимірювання. Невиключена систематична похибка результату вимірювання може містити складові, серед яких можуть бути невиключені систематичні похибки методу, засобу вимірювальної техніки та оператора, або викликані іншими джерелами. Їх, як і похибки поправок, розглядають як випадкові величини. Якщо при цьому складові невиключеної систематичної похибки можна вважати не-залежними, то
(1.14)
де i - оцінка середнього квадратичного відхилення і-ої складової не-виключеної систематичної похибки. У випадку, коли дані про вид розподі-лу випадкових величин відсутні, їх розподіл приймають за рівномірний. Наприклад, якщо одна з невиключених складових систематичної похибки - похибка вимірювального приладу, то в якості її меж приймають межі допустимих основних та додаткових похибок за умови, що випадковою складовою похибки засобу можна знехтувати.
Оцінку середнього квадратичного відхилення сумарної похибки результату вимірювання знаходять за формулою
.
(1.15)
В разі необхідності розраховують довірчі границі похибки результа-ту вимірювання:
(1.16)
де k(P) - коефіцієнт, значення якого залежить від вибраної довірчої імовірності та виду закону розподілу сумарної похибки.
Вид розподілу сумарної похибки може бути встановлений шляхом побудови композиції розподілів випадкової і невиключених систематич-них похибок, які розглядаються як випадкові величини. Побудова компо-зиції полягає в послідовному згортанні розподілів складових похибки. Спочатку знаходять композицію двох законів, потім композицію знайденої композиції з третім і так далі. Якщо відомі густини розподілу f1(1) і f2(2) складових 1 і 2 похибки, то композицію їх законів розподілу f(), тобто густину розподілу суми =1+2, знаходять за формулою
(1.17)
Знаходження композиції законів розподілу часто є достатньо складною математичною задачею, тому використовують інші аналітичні чи числові методи. Зокрема в багатьох випадках можна використати наближення центральної граничної теореми теорії ймовірності, згідно з якою похибка, якщо вона є сумою достатньо великої кількості складових і внесок кожної складової невеликий в порівнянні з сумою, то сумарний розподіл буде нормальним. У цьому випадку, коли відоме середнє квадратичне відхилення сумарної похибки , то тоді довірчі границі похибки можна розрахувати за формулою
(
1.18)
де t - квантіль нормального розподілу.
Якщо похибка вимірювання визначається випадковою похибкою, то за довірчі границі похибки можна прийняти довірчі границі випадкової похибки результату вимірювання.
В тому випадку, коли результати спостережень розподілені нормаль-но, а невиключені систематичні похибки рівномірно, то згідно з ГОСТ 8.207 коефіцієнт k(P) може бути знайдений за емпіричною формулою
(1.19)
Тут (Р) - довірчі межі невилученої систематичної похибки резуль-тату вимірювання, які розраховуються за формулою
(1.20)
де і -границя і-ої невилученої систематичної похибки; К - коефіцієнт, зна-чення якого залежить від прийнятої довірчої ймовірності (так К=1,1 при Р=0,95). При P = 0,99 значення К знаходять за графіком, наведеним в ГОСТ 8.207.
Як правило, оцінка середнього квадратичного відхилення і довірчих меж похибки із-за браку інформації є оцінкою зверху. Це може призвести до того, що довірчий інтервал похибки виявиться більш широким, ніж от-риманий арифметичним додаванням модулів граничних значень всіх скла-дових похибки вимірювання. Тому після розрахунку довірчого інтервалу похибки, доцільно отриманий результат порівняти з арифметичною сумою модулів довірчих границь цих же складових і за кінцеву оцінку прийняти більш вузький інтервал.
Зазначимо, що за вищеописаною процедурою довірчий інтервал похибки розраховується з імовірністю Р<1. Якщо потрібно знати довірчий інтервал з Р=1, то потрібно користуватися іншим методом. Такий метод може полягати, зокрема, в арифметичному додаванні модулів максимально можливих значень складових похибки. Часто такий розрахунок дає зави-щене значення, оскільки малоймовірно, що на практиці всі складові прий-муть максимально можливі значення, до того ж з одним знаком. Однак, якщо вимірювання особливо відповідальні, тобто мають винятково важли-ве значення для здоров’я чи життя людей, і ні в якому разі не можна допустити, щоб розраховане значення похибки було менше від дійсного при вимірюванні, такий підхід є цілком виправданим.