1.4. Транспортная задача

Рассмотрим транспортную задачу, т. е. задачу, в которой речь идет о рациональной перевозке некоторого однородного продукта от производителей к потребителям.

Пусть имеется m пунктов производства однородного продукта (добыча руды в карьерах, производство автобусов, кондитерских изделий, компьютеров и т.д.) и n пунктов потребления этого продукта. Мощности пунктов производства составляют а_i единиц однородного продукта, а потребности каждого j-го пункта потребления равны единиц. Известны затраты на перевозку единицы продукта от i-го поставщика j-му потребителю. Составить такой план перевозок, при котором суммарные затраты на все перевозки были бы наименьшими. Пусть спрос и предложение совпадают, т.е. Такую транспортную задачу называют сбалансированной (закрытой). При этом предполагается, что вся продукция от поставщиков будет вывезена и спрос каждого из потребителей будет удовлетворен.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через  количество продукта, перевозимого из i-го пункта производства в j-й пункт потребления. Тогда матрица:

 план перевозок.

Матрицу называют матрицей затрат (тарифов).

Внесем исходные данные и перевозки в транспортную таблицу:

bj ai	b1	b2	...	bn
a1	c11 x11	c12 x12	...	c1n x1n
a2	c21 x21	c22 x22	...	c2n x2n
...	...	...	...	...
am	cm1 xm1	cm2 xm2	...	cmn xmn

Предположим, что транспортные затраты прямо пропорциональны количеству перевозимого продукта. Тогда суммарные затраты выразятся функцией цели:

которую необходимо минимизировать при ограничениях:

(весь продукт из каждого i-го пункта должен быть вывезен полностью),

(спрос каждого j-го потребителя должен быть полностью удовлетворен).

Из условия задачи следует, что все

Итак, математическая модель сбалансированной транспортной задачи имеет вид:

при ограничениях:

.

1.5. Вопросы для самопроверки

1. Предмет математического программирования.

2. Основные этапы решения задачи математического программирования.

3. Краткая классификация моделей и методов математического программирования.

4. Понятие математической модели.

5. Постановка задачи оптимального производственного планирования. Математическая модель.

6. Задача о смесях. Постановка и математическая модель.

7. Задача о раскрое. Постановка и математическая модель.

8. Транспортная задача. Постановка и математическая модель.

9. Этапы решения задачи математического программирования.

2. Некоторые сведения из линейной алгебры

2.1. Основные понятия и теоремы

Основным понятием линейной алгебры является понятие линейного векторного пространства.

Определение 2.1. Упорядоченная совокупность n действительных чисел называется n-мерным вектором.

Определение 2.2. Совокупность всевозможных n-мерных векторов после введения в нее операций сложения и умножения на действительное число называется n-мерным линейным векторным пространством.

Частными случаями линейных пространств являются прямая, плоскость, трехмерное пространство.

Определение 2.3. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа не равные нулю одновременно, при которых имеет место равенство:

0.

Если же это равенство возможно лишь в случае, когда все , то система векторов называется линейно независимой.

Определение 2.4. Базисом n-мерного векторного прос-транства называется любая совокупность n линейно независимых векторов этого пространства.

В двумерном пространстве за базис могут быть взяты любые два неколлинеарных вектора, в частности, . В трехмерном пространстве – любые три некомпланарных вектора, например, .

Определение 2.5. Вектор где – произвольные вещественные числа, называется линейной комбинацией векторов

Теорема 2.1. Любой вектор n-мерного векторного пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса, притом единственным образом.

Определение 2.6. Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Линейное пространство обычно обозначают где n – его размерность.