4.3. Вопросы для самопроверки

1. Запишите основную ЗЛП в общем виде.

2. Запишите модель ЗЛП в стандартной и канонической формах. Матричная форма моделей.

3. Как сводится задача минимизации целевой функции к задаче максимизации?

4. Какова геометрическая интерпретация решения линейных неравенств с одной, двумя, тремя переменными?

5. Что называется допустимым решением и ОДР задачи математического программирования?

6. Какова геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств с двумя переменными?

7. Постройте линию уровня целевой функции , соответствующую значению

8. Чем определяется направление скорейшего возрастания целевой функции? Постройте для функции .

9. Что называется оптимальным решением ЗЛП?

10. Какие случаи возможны при решении ЗЛП?

11. Как выражается оптимальное решение при наличии альтернативного оптимума?

5. Свойства допустимых планов задачи линейного программирования. Опорный план

Не ограничивая общности, рассмотрим свойства допустимых планов на примере канонической формы модели ЗЛП:

(5.1)

(5.2)

(5.3)

Основные свойства этой задачи формулируются в следующих теоремах, которые, по сути, обобщают свойства ЗЛП с двумя переменными на случай любого числа переменных.

Теорема 5.1. Множество планов ЗЛП выпукло.

Н еобходимо показать, что если X¹ и X² – допустимые планы ЗЛП (5.1)–(5.3), то их выпуклая линейная комбинация:

где ,

также является ее допустимым планом, т.е. удовлетворяет системе (5.1)–(5.3).

Итак, пусть X¹ и X² – допустимые планы задачи (5.1)–(5.3), т.е. справедливы соотношения:

Возьмем два любых числа и таких, что и умножим первое равенство на , второе – на . Складывая результаты, получим:

или

т.е.

удовлетворяет системе (5.1).

А так как то также удовлетворяет условию (5.2).

Т аким образом, доказано, что выпуклая линейная комбинация векторов X¹ и X² также является допустимым планом задачи (5.1)–(5.3) и, следовательно, согласно определению, множество планов ЗЛП выпукло.

Множество допустимых планов ЗЛП может быть ограниченным и тогда оно называется выпуклым многогранником, а его крайние точки – вершинами.

Если же оно неограниченное, то его называют выпуклым многогранным множеством.

Теорема 5.2. Если целевая функция имеет максимум на выпуклом многограннике допустимых решений, то он достигается по крайней мере в одной из вершин этого многогранника.

В ыпуклый многогранник имеет конечное число вершин, обозначим их через а точку, где функция Z имеет максимум, через X^*. Очевидно,

Если среди вершин найдется хотя бы одна вершина, например, для которой то теорема доказана.

Предположим противное, т.е. что Х^* не является вершиной. Тогда для каждой вершины должно выполняться соотношение:

Но, согласно свойству ограниченных выпуклых множеств (см. теорему 3.2), точку можно представить в виде выпуклой линейной комбинации крайних точек (вершин):

.

Подставляя Х^* в целевую функцию и принимая во внимание ее линейность, получим:

что является противоречием. Полученное противоречие возникло в силу предположения о том, что не является вершиной.

С ледовательно, в ограниченной выпуклой многогранной области всегда существует вершина, в которой целевая функция принимает максимальное значение.

Теорема 5.3. Если целевая функция имеет максимум более чем в одной вершине выпуклого многогранника допустимых решений, то этот максимум достигается в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбина-цией этих вершин.

П редположим, целевая функция достигает максимума в нескольких вершинах: многогранника, т.е. Пусть

Рассмотрим произвольную выпуклую линейную комбинацию этих вершин:

и покажем, что значение целевой функции также равно d.

Действительно, имеем: