1.2. Задача о смесях
Задача определения оптимального состава смеси возникает тогда, когда из имеющихся видов сырья путем их смешивания необходимо получить конечный продукт с заданными свойствами. К этой группе задач относятся, например, задачи получения смесей для разных марок бензина в нефтеперерабатывающей промышленности, смесей для получения бетона в строительстве, задача о выборе диеты, составление кормового рациона в животноводстве и др. При этом требуется, чтобы стоимость такой смеси была минимальной.
Пусть имеется m видов
сырья, запасы которого составляют
соответственно d1,…,
dm.
Из этого сырья необходимо составить
смесь, содержащую n
веществ, определяющих технические
характеристики смеси. Известны величины
определяющие количество j-го
вещества в единице
-го
вида сырья, цена которого равна
а также
наименьшее допустимое
количество j-го вещества
в смеси.
Требуется получить смесь с заданными свойствами при наименьших затратах на исходные сырьевые материалы.
Для составления математической модели запишем условия задачи в виде таблицы:
Вид вещества
Вид сырья |
1 |
... |
j |
... |
n |
Объем сырья
|
Цена сырья |
1 |
a11 |
... |
a1j |
... |
a1n |
d1 |
c1 |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
… |
i |
ai1 |
... |
aij |
... |
ain |
di |
ci |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
… |
… |
m |
am1 |
... |
amj |
... |
amn |
dm |
cm |
Минимальное количество вещества в смеси |
b1 |
... |
bj |
... |
bn |
|
|
Обозначим через хi
количество
сырья i-го вида,
входящего в состав смеси.
Цель задачи (целевая функция) – минимизировать суммарные затраты на сырье:
.
Система ограничений включает в себя ограничения по техническим характеристикам:
а также ограничения по объему сырья, которые с учетом неотрицательности переменных примут вид:
.
Запишем модель в компактной форме:
при ограничениях:
1.3. Задача о раскрое
Задача оптимального раскроя материалов заключается в определении наиболее рационального способа раскроя имеющегося материала (бревна, стальные полосы, кожа и т.д.), при котором будет изготовлено наибольшее количество готовых изделий в заданном ассортименте или будет достигнуто наименьшее количество отходов.
Пусть на обработку поступает a
единиц сырьевого материала одного вида
(например, a бревен
одной длины). Из него требуется изготовить
комплекты, в каждый из которых входит
n видов изделий в
количестве, пропорциональном числам
.
Имеется m способов
раскроя (обработки) данного материала,
т.е. известны величины
определяющие количество единиц j-х
изделий при i-м способе
раскроя единицы сырьевого материала.
Определить план раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов. Согласно условиям задачи имеем таблицу раскроя:
Вид изделия Способ раскроя |
1 |
... |
j |
... |
n |
1 |
a11 |
... |
a1j |
... |
a1n |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
i |
ai1 |
... |
aij |
... |
ain |
… |
... |
... |
... |
... |
... |
m |
am1 |
... |
amj |
... |
amn |
Пусть
–
количество единиц сырьевого материала,
раскраиваемого i-м
вариантом (
.
Тогда количество изделий 1-го вида равно:
.
Принимая во внимание условие комплектности, имеем:
где y – количество комплектов.
Аналогичные равенства можно записать и для всех остальных видов изделий, т.е. условие комплектности приводит к системе ограничений:
Очевидно,
(на раскрой поступает a единиц сырьевого материала), а также
Цель задачи – максимизировать количество комплектов:
.
Итак, приходим к математической модели задачи о раскрое:
,
.
Чтобы выразить целевую функцию через переменные x1,…,xm, достаточно воспользоваться любым из соотношений:
