Линейное программирование

Линейное программирование – это раздел математического программирования, который исследует модели экстремальных задач с линейной целевой функцией и системой ограничений, состоящей из линейных уравнений и неравенств.

Классические методы нахождения экстремума функции многих переменных связаны с решением системы уравнений:

Очевидно, для линейной функции Z:

А так как все коэффициенты с_j одновременно не могут быть равны 0, то внутри области, образованной системой ограничений, экстремальной точки не существует. Она может существовать на границе области, но применение классических методов также невозможно, так как частные производные функции Z по всем переменным также равны константам. Поэтому для решения задач линейного программирования (ЗЛП) были созданы специальные методы.

1. Примеры экономических задач линейного программирования

1.1. Задача оптимального производственного планирования

Для изготовления n видов продукции P₁,…,P_n используется m видов сырья S₁,…,S_m, запасы которого ограничены и составляют соответственно b₁,…,b_m единиц. Известно, что на производство единицы продукции P_j (j= ) расходуется а_ij единиц ресурса S_i (i= , а прибыль от реализации единицы продукции P_j (j= составляет с_j (j= .

Требуется определить план производства, который позволяет при наличных ресурсах получить максимальную прибыль предприятия от реализации продукции.

Прежде всего запишем условия задачи компактно в виде таблицы:

Вид продукции Вид сырья	Р1	...	Pj	...	Pn	Запас ресурса
S1	a11	...	a1j	...	a1n	b1
...	...	...	...	...	...	...
Si	ai1	...	aij	...	ain	bi
...	...	...	...	...	...	...
Sm	am1	...	amj	...	amn	bm
Прибыль	c1	…	cj	…	cn

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через x_j (j= планируемое к выпуску количество продукции Р_j (j= , а через Z (х₁,…, x_n) – прибыль предприятия от реализации всей продукции.

Тогда планом производства будет вектор Х = (х₁,…,х_n), показывающий, какое количество продукции каждого вида будет произведено. Переменные х₁,…,х_n – управляемые переменные.

Цель решения задачи (критерий оптимальности) – максимизировать прибыль:

Z = c₁x₁ + c₂x₂ +. . . + c_nx_n .

Суммарные затраты ресурса S_i (i= составляют:

.

В силу ограниченности ресурса S_i величиной b_i получим систему ограничений:

.

На переменные х_j должно быть наложено условие неотрицательности т.е. продукция Р_j может либо выпускаться (x_j > 0), либо не выпускаться (x_j = 0).

Итак, математическая модель примет вид:

,

.