9.2. Метод Ейлера
Цей метод являється відносно наближеним і застосовується в основному для орієнтовних розрахунків. Однак ідея метода являється основоположною в цілий ряд більш точних методів.
Зміст
методу полягає в тому, що
в точці
розглядається, як крива, визначена через
її похідну. Початкові умови
дозволять вибирати із множини кривих
єдину, що проходить через точку
.
В цій точці проведемо дотичну
і рухаємось по ній на деяку відстань
(крок інтегрування) і приходимо в точку
.
Значення функції в цій точці (рисунок 33)
.
Рисунок 33 – Геометрична інтерпретація метода Ейлера
Продовжуючи
цю процедуру далі одержуємо послідовність
коротких відрізків
і т.д., які з достатнім наближенням
задають шукану функцію
.
Таким чином, ітераційна формула метода
Ейлера має вигляд
.
Точність такого методу пропорційна
кроку інтегрування
.
Тобто, щоб збільшити точність результату
на одну значущу цифру, потрібно крок
інтегрування збільшити в 10 разів.
9.3. Метод Рунге-Кутта
Існує багато більш точних, ніж метод Ейлера, методів інтегрування звичайних диференційних рівнянь (Адамса, Ейлера-Коші, Мільса та ін.). Але всі вони основані на визначенні кута нахилу дотичних до шуканої кривої в різних точках кроку інтегрування. Найбільш точним методом вважають метод Рунге-Кутта IV порядку.
Так
же як і в методі Ейлера значення шуканої
функції визначають за формулою
.
Якщо
розкласти в ряд Тейлора і обмежитися
членами до
включно, то приріст функції
можна представити у вигляді:
(9.1)
Замість безпосередніх обчислень по формулі (9.1) визначаються 4 числа:
(9.2)
Як
видно із значень цих коефіцієнтів, вони
відповідають приросту функції
на початку кроку інтегрування, в кінці
кроку та в двох точках між ними. А тому
середнє значення таких приростів
знаходять за формулою:
.
Таким
чином, для кожної пари поточних значень
,
маємо ітераційні перетворення:
Як бачимо, на початку діапазону інтегрування результати методів практично співпадають, а далі похибка методу Ейлера суттєво збільшується.
9.4. Інтегрування диференційних рівнянь інструментарієм системи MathCad
Для розв’язку диференційних рівнянь в системі MathCad є цілий ряд вмонтованих функцій. Розглянемо можливість застосування деяких з них.
9.4.1. Функція odesolve(x,b,n),
де х – аргумент шуканої функції ;
b – кінець інтервалу інтегрування;
n – число кроків інтегрування.
Технологія застосування цієї функції має таку послідовність:
ввести службове слово Given;
ввести диференційне рівняння в вигляді:
або
або
(для
занесення апострофа потрібно натиснути
+
).
ввести початкові умови:
.записати функцію:
.
Розв’язок буде знаходитися в пам’яті комп’ютера. Щоб його вивести, потрібно:
присвоїти змінній х значення потрібного діапазону
.ввести ім’я функції та натиснути клавішу
.
На робоче поле буде виведена в табличному вигляді шукана функція .
9.4.2. Вмонтовані функції: rkfixed, Bulstoer, Rkadapt.
Ці функції мають однакові параметри:
,
де y – вектор початкових умов;
a, b – діапазон інтегрування;
n – кількість кроків розв’язку;
D – вектор правих частин системи диференційних рівнянь.
Технологія розв’язку системи дифрівнянь така:
ввести вектор початкових умов з присвоєнням йому імені y (або всяке інше); якщо це єдине рівняння у присвоюється скаляр;
ввести вектор правих частин системи:
;присвоїти ідентифікатор функції:
.
Для
виведення результату на екран:
і друкується таблиця, в нульовому
стовпці якої роздруковано значення х,
а в першому
.
Для представлення їх на графіку потрібно
задати кількість точок аргументу
і розмістити його в нижньому маркері
графіка, а вертикальному маркері
задається перший стовпчик таблиці
.
Розв’язок диференційних рівнянь інструментарієм MathCad
