7.2. Інтерполяційний поліном Лагранжа

Розглянемо апроксимацію функції таким поліномом , графік якого обов’язково проходив би через всі табличні точки (див. рисунок 27). Тобто . Для виведення формули такого полінома розглянемо спочатку допоміжну задачу: побудуємо спочатку поліном такий, що при та . Ці умови можна записати так

Такий поліном може мати вигляд:

. (7.1)

Якщо і враховуючи, що , маємо:

. Звідси довільний коефіцієнт: . Підставивши в (7.1), маємо:

. (7.3)

Дійсно для всіх точок таблиці, за виключенням , цей поліном перетворюється в нуль. І лише при його чисельник дорівнює знаменнику, тобто .

Тепер перейдемо до розв’язку початкової задачі. В кожній точці таблиці, маємо не 1, а . Тобто значення знайденого полінома (7.3) потрібно помножити на . Отже, шуканий поліном, який називається поліномом Лагранжа і позначається першою літерою його прізвища буде мати вигляд:

.

Для реалізації в системі MathCad цю формулу можна представити:

.

Приклад використання

7.3. Табличний метод застосування полінома Лагранжа

В деяких випадках зручніше інтерполяційні значення визначати в табличній формі. Для цього створюють таблицю:

	j
i					…
					…
					…
					…
	…	…	…	…	…	…	…
					…

В цьому випадку поліном Лагранжа має вигляд

,

де – добуток усіх діагональних елементів таблиці;

– і-те значення табличної функції;

– добуток усіх елементів і-го рядка таблиці, включаючи також і діагональний елемент.

Застосуємо цей метод для попередньої задачі:

7.4. Інтерполяційні формули Ньютона

Якщо в табличній функції вузли інтерполяції рівновіддалені, тобто , то при інтерполюванні можна застосувати менш громіздкий математичний апарат, який описується інтерполяційними формулу Ньютона. Величина h називається кроком інтерполяції.

Вияснимо спочатку поняття кінцевих різниць.

Нехай задана функція . Тоді називається першою кінцевою різницею.

Аналогічно, кінцева різниця другого порядку (читається «дельта два ігрек»):

і т.д. (рисунок 28).

					…
					…
					…
					…
					…
…	…	…	…	…	…

Рисунок 28 – Кінцеві різниці функції

Тоді перша інтерполяційна формула Ньютона має вигляд:

(7.4)

Застосовується вона для інтерполяції табличної функції в верхній частині таблиці. В ній фаза інтерполяції визначає скільки кроків потрібно зробити, для переходу із точки в точку х. Застосуємо формулу (7.4) для визначення .