6.2. Етапи відокремлення коренів

На цьому етапі для отримання значень відрізків , на яких розміщений єдиний корінь можуть застосовуватися:

1. аналітичні методи;

2. режим табулювання функції ;

3. графічний метод.

6.2.1. Аналітичні методи порівняно просто застосовувати для алгебраїчних рівнянь. Нижню та верхню межу всіх коренів для таких рівнянь можна визначити з допомогою правила кільця:

Нехай

тоді всі корені знаходяться в кільці , де .

Розглянемо правило для рівняння

; ; ; .

Таким чином, всі додатні корені даного рівняння знаходяться в діапазоні , а від’ємні в інтервалі .

Для трансцендентних рівнянь аналітичний метод відокремлення коренів має таку послідовність:

1. знаходять область існування коренів;

2. обчислюють і визначають критичні точки ;

3. записують інтервали, для яких ;

4. досліджують знаки функції на кінцях інтервалів;

5. виписують відрізки ізоляції коренів.

Наприклад, маємо рівняння :

1. область існування функції: ;

2. 

3. х	0,5	1	1,5
   		0	+

г)

Отже, рівняння має два кореня в інтервалах та .

6.2.2. Аналітичний спосіб отримання меж відокремлення коренів дає досить широкі інтервали . А тому їх в подальшому уточнюють методом табуляції або графічним методом.

Табулювання функції полягає в послідовному аналізі зміни знака функції в деякому інтервалі зміни х (найчастіше з постійним кроком). В тих місцях, де функція змінює свій знак, повинен бути корінь. По критерію (6.2) уточнюють його відокремленість.

Застосуємо принцип табуляції для рівняння .

Раніше ми вияснили, що всі корені цього рівняння знаходяться в інтервалі . Табулюємо цей діапазон з кроком :

х	4	3	2	1	0	1	2	3	4
у				+	+			+	+

Отже, маємо один від’ємний корінь в інтервалі та два додатніх в інтервалах та .

Для розглянутого раніше трансцендентного маємо:

х	0,01	0,5	1	…	2	2,5	3	3,5
у	-	+	+	+	+	+	-	-

Тут два кореня в діапазонах та .

6.2.3. Графічний метод відокремлення коренів дає наочне представлення знаходження коренів рівняння. Найчастіше при реалізації цього методу функцію представляють у вигляді таким чином, щоб порівняно легко можна було на координатній площині зобразити графіки та . Тоді точка перетину цих графіків буде давати наближене значення кореня. Вибравши ліворуч та праворуч від такої точки перетину точки a та b, перевіряють знаходження всередині кореня по критерію (6.1) і можна переходити до його уточнення. На рисунку 21 зображені точки перетину графіків та для першого розглянутого прикладу, та і для другого.

Рисунок 21 – Графічний спосіб відокремлення коренів