5.2.Относительная величина дохода по ценным бумагам

Простейший вид финансовой сделки – однократное предоставление в долг некоторой суммы Р_o с условием, что через время t будет возвращена сумма Р_t. Для определения эффективности сделки используют две величины:

- относительный рост (интерес) или процентная ставка (в %) (формула 5.8):

r_t = (Р_t-Р_o) ×100/Р_o. (5.8)

- относительная скидка (дисконт) или учетная ставка (в %) (формула 5.9):

d_t = (Р_t-Р_o) ×100/Р_t. (5.9)

Очевидно, что введенные величины взаимосвязаны (формула 5.10-5.11):

r _t = d_t /(1-d_t); d_t = r_t /(1+r_t ). (5.10)

Р_t = Р (1+r_t ); Р_o= Р_t (1-d_t ) (5.11)

Процентные ставки

Для того, чтобы рассчитать сумму дохода инвестора используют схему наращения капитала. Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год. Существуют две основные схемы наращения капитала:

• схема простых процентов;

• схема сложных процентов.

Схема простых процентов

Пусть исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая норма доходности – r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину Р r.

При простой процентной ставке доходы не реинвестируются. Таким образом, размер инвестиционного капитала через n лет будет равен (формула 5.12):

FV=PV (1+i_пр n), (5.12)

где PV – современная стоимость денег,

FV – будущая стоимость денег.

Возможны следующие варианты расчета:

• точный расчет, где T = 365 или 366 дней; t – точная продолжительность месяца

• приблизительный расчет, где T = 360 дней; t = 30 дней

Если необходимы внутригодовые процентные начисления с целым числом лет, то формула годового дохода (Fn) следующая (формула 5.13):

:

Fn = P (1+r/m)^{m k}, (5.13)

Р – инвестируемый капитал;

r – годовая ставка (в долях);

m – количество начислений в году (1/m-часть года);

k – количество лет.

Если период платежа превышает 1 год, но насчитывает нецелое число лет, то сберегательные банки применяют комбинированную схему: сложные проценты – за целое число лет, простые – за остаток (формула 5.14):

.

Fn = P (1+r)^w (1+f r), (5.14)

где w – целое число лет;

f – дробная часть года.

Схема сложных процентов

При инвестициях на условиях сложного процента очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты.

В этом случае размер инвестиционного капитала будет равен:

к концу первого года:

F1 = P+P r = P (1+r) (4.15)

к концу второго года:

F2 = F1+F1 r = F1 (1+r)² = P (1+r) (4.16)

к концу n – го года:

Fn = P (1+r)ⁿ (4.17)

Совершенно очевидно, что инвестиция на условиях сложного процента более выгодна, поскольку:

(1+r)ⁿ > 1+n r, т.е. Fn>Pn при n>1. (418)

Использование в расчетах сложного процента более логично, поскольку в этом случае капитал, генерирующий доходы, постоянно возрастает. При применении простого процента доходы по мере их начисления целесообразно снимать для потребления или использования в других инвестиционных проектах или текущей деятельности.

Применяя повторные вложения (реинвестирование), кредитор может получить некоторый выигрыш, даже если объявленные условия не содержат схемы сложных процентов.

Таким образом, при начислении дохода по сложной процентной ставке, доход начисляется не на первоначальную сумму, а на накопленную:

FV=PV (1+i)=PV (1+i_пр)ⁿ. (4.19)

Величина 1+i показывает, во сколько раз выросла сумма за один год. Такая процентная ставка i называется эффективной. Если же указывается номинальная процентная ставка j, то всегда еще указывается, сколько раз в году начисляются проценты.

. (4.20)

Эффективная ставка.Эффективной называется годичная ставка сложных процентов, дающая то же соотношение между выданной суммой Р(0) и суммой Р(t), которая получена при любой схеме выплат.

, (4.21)

где t – выражено в годах.

Приведем общие формулы для базовых схем.

а) при начислении под простой процент:

r_ef = (1+t r) ^1/t - 1 (при t=1; r_ef = r) (4.22)

б) при начислении под сложный процент r с количеством начислений в год m:

r _ef = (1+r/m)^m - 1 (при m_ef = 1; r = r) (4.23)

в) при учете по дисконту d с дисконтированием m раз в году:

r_ef = (1-d/m)^-m -1 = (1/(1-d/m)^m ) – 1 (4.24)

г) при учете по банковскому дисконту:

r_ef = (1-Td)^-1/T = (1/(1-Td)^1/T ) – 1 (4.25)

Расчет эффективной ставки – один из основных инструментов финансового анализа.

Значение эффективной ставки позволяет сравнивать между собой сделки, построенные по различным схемам (например, при начислении под простой и сложный проценты и одинаковых номинальных ставках r, t не равно 1). Чем выше эффективная ставка, тем (при прочих равных условиях) выгоднее сделка для кредитора. При одинаковой номинальной ставке процента эффективная ставка при начислениях под простые проценты выше, чем при начислениях под сложные, если период начисления меньше года, и ниже, если период больше года.

Аннуитетом называется постоянный доход, получаемый через равные промежутки времени. Примерами аннуитета являются: доход, приносимый облигацией с постоянным купоном без погашения, дивиденды по привилегированным акциям.

, (4.26)

где PMT – регулярный ежегодный доход, n – количество лет, m – количество выплат в течении года.

Взаимоотношения между кредитором и дебитором в общем случае определяются потоком платежей. Аннуитет – денежный поток с равными поступлениями через равные промежутки времени. Если срок действия аннуитета ограничен, аннуитет называется срочным; если поступления осуществляются неопределенно долго, аннуитет называется бессрочным. Если поступления осуществляются в начале периодов, аннуитет носит название пренумерандо, если в конце периодов – постнумерандо. Для упрощения расчетов значения мультиплицирующих и дисконтирующих множителей табулированы в специальных финансовых таблицах

Будущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо:

, (4.27)

где F – будущая наращенная сумма;

A – одинаковая величина ежегодных платежей (аннуитет);

N – равные промежутки времени;

R – сложная процентная ставка;

FM3 (r%,n) – мультиплицирующий множитель.

Будущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо:

F = A FM3 (r%,n) (1+r), (4.28)

Во многих ситуациях представляет интерес приведение всех платежей к исходному данному моменту с учетом дисконтирования платежей, приходящих в будущем. Результат приведения называется текущей или приведенной величиной.

1. Текущая стоимость срочного аннуитета постнумерандо:

P = A (1-(1+r)^-n / r = A FM4 (r%,n) (4.29)

FM4 (r%,n) – дисконтирующий множитель.

2. Текущая стоимость срочного аннуитета пренумерандо:

P = A FM4 (r%,n) (1+r) (4.30)

3. Приведенная стоимость бессрочного аннуитета:

P = A/r (4.31)