Электромагнитные волны Электромагнитное поле в среде

Как известно, исходной системой уравнений для определения электромагнитного поля в среде являются уравнения Максвелла:

(1)

Здесь j и ρ - плотности токов и электрических зарядов в среде, появление которых вызвано электромагнитным полем. E и H – напряжённости электрического и магнитного полей, D и B – векторы электрической и магнитной индукции, с – скорость света в вакууме.

Для расчёта электромагнитных полей в различных средах эту систему уравнений необходимо дополнить системой материальных уравнений:

D=D(E), B=B(H), j=j(E). (2)

Связь между D и E, B и H, j и E зависит от характера взаимодействия электромагнитного поля с веществом и может иметь очень сложный вид. Она может быть нелинейной, нелокальной, учитывать анизотропию и наследственные свойства среды. Последнее означает, в частности, что значения векторов D, B, j в какой-либо точке пространства и в момент времени t могут зависеть от значений векторов E, H в других точках пространства и в предшествующие моменты времени. Такая связь между векторами приводит к появлению частотной и пространственной дисперсии, существенно влияющей на процессы распространения волн. Во многих случаях векторы E и D, B и H параллельны при любой ориентации электромагнитного поля. Характер электромагнитных процессов в таких средах не зависит от направления этих векторов, поэтому эти среды называют изотропными. В некоторых средах эти векторы не параллельны, их называют анизотропными.

Среду называют однородной, если её параметры не зависят от координат, и неоднородной, если такая зависимость имеется. Выделяют линейные среды, параметры которых не зависят от напряженностей электрических и магнитных полей, и нелинейные, в которых эта зависимость наблюдается. В линейных средах электромагнитное поле удовлетворяет принципу суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, равно сумме полей, образованных каждым источником в отдельности. В сильных полях все среды (и вакуум) становятся нелинейными. В слабых полях некоторые вещества (сегнетоэлектрики, ферромагнетики) обнаруживают нелинейность. Сначала будем считать, что связь между векторами линейна и определяется соотношениями:

D=εE, B=μH, j=σE, (3)

где ε - диэлектрическая проницаемость, µ - магнитная проницаемость, σ - проводимость среды . Эти параметры среды называются электрофизическими. Поэтому среды различают по значениям именно этих параметров и характеру их зависимости от интенсивности электромагнитных процессов и координат точки наблюдения.

В диэлектриках: ωε/σ >1, в проводниках – наоборот. Таким образом, в зависимости от частоты изменения поля одно и то же вещество может считаться диэлектриком, либо проводником. В идеальном диэлектрике σ=0, в идеальном проводнике σ→∞.

В систему уравнений Максвелла входят частные производные по четырём аргументам: x, y, z, t. Процедура решения упростится, если из уравнений удастся исключить t. Этого легко добиться, если рассматриваемый электромагнитный процесс протекает во времени по гармоническому закону с некоторой постоянной частотой ω. Такие процессы часто встречаются на практике. Тогда, вектор какого - либо поля, например Е, в некоторой заданной точке пространства записывается:

E(t)=E_xcos(ωt+φ_x)i + E_ycos(ωt+φ_y)j + E_zcos(ωt+φ_z)k (4)

E_x, E_y, E_z - амплитуды отдельных составляющих поля; φ_x, φ_y, φ_z - соответствующие начальные фазы. Или

(5)

Вектор принято называть комплексной амплитудой поля Е в заданной точке пространства. Комплексные амплитуды легко ввести в уравнения Максвелла, полагая, что величины , зависят только от пространственных координат. Возьмём, например, первое уравнение и подставим в него соответствующие векторные поля, выраженные через комплексные амплитуды. Получим:

(6)

Изменяя порядок следования дифференциальных операций и операций взятия действительной части, а затем сокращая на общий экспоненциальный множитель, получим:

. (7)

В дальнейшем, если в уравнениях будет иметься в явном виде частота ω, знак «~» - тильда будем опускать и полагать что работаем с амплитудами. Аналогично преобразовав остальные уравнения, получим уравнения Максвелла в комплексной форме для амплитуд:

(8)