- •Основные понятия теории колебаний
- •1. Волновое уравнение
- •1.1. Поперечные волны в струне
- •Электромагнитные волны в вакууме
- •Решения волнового уравнения Решение одномерного волнового уравнения
- •Стоячие и бегущие волны
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны
- •Дисперсия и групповая скорость Дисперсионное соотношение
- •Биения волн
- •Спектральный анализ
- •Волновые пакеты
- •Электромагнитные волны Электромагнитное поле в среде
- •Плоские электромагнитные волны
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Распространение электромагнитных волн в поглощающих средах
- •Энергия и поток энергии электромагнитного поля в веществе
- •Уравнения для электромагнитного поля в квазистационарном приближении
- •Дисперсия диэлектрической проницаемости
- •Связь между дисперсией и поглощением. Дисперсионные соотношения Крамерса – Кронига
- •Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках
- •Диэлектрическая проницаемость и распространение волн в средах со свободными зарядами
- •Диэлектрическая проницаемость плазмы в магнитном поле
- •Геликоны в проводниках
- •Электромагнитные волны в анизотропных средах
- •Приближение геометрической оптики
- •Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред
- •Прохождение электромагнитных волн через гиротропный диэлектрик
- •Волноводы Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и h-моды
- •Прямоугольные волноводы. Волны h-типа
- •Волны e-типа
- •Резонаторы
- •Нелинейные процессы. Нелинейная поляризация вещества
- •Нелинейная восприимчивость
- •Генерация гармоник
- •Самовоздействие света в нелинейной среде
Электромагнитные волны в вакууме
В среде, в отсутствие зарядов и токов уравнения Максвелла выглядят следующим образом (система СГС):
В уравнениях Максвелла вектор E, характеризующий воздействие поля на заряд, есть вектор напряженности электрического поля. Вектор B, характеризующий воздействие поля на элемент тока называется вектором магнитной индукции. Вектор электрической индукции D – результирующее электрическое поле в среде, индуцированное наложенным полем E. В то же время, в силу исторических причин, наоборот, вектор напряженности магнитного поля H есть результирующее магнитное поле в среде, наведенное внешним полем B. с – скорость света в вакууме.
Связи между рассматриваемыми векторами задаются так называемыми материальными уравнениями, которые в вакууме имеют форму:
, т.к. магнитная и диэлектрическая проницаемости вакуума равны единице
то уравнения максвелла принимают вид
Действуя оператором rot на первое уравнение, и подставляя в полученное, второе уравнение получим
Из векторного анализа известно, что , а т.к. , то мы получаем волновое уравнение для вектора
.
- оператор Лапласа.
Аналогично можно получить уравнение для .
Решения волнового уравнения Решение одномерного волнового уравнения
Выше мы показали, что разнообразные физические модели сводятся к их описанию с помощью однотипного волнового уравнения, которое в одномерном случае еще раз запишем таким образом:
(1)
Прежде всего, покажем, что любая функция , зависящая от координаты и времени, объединенных в линейную комбинацию, удовлетворяет волновому уравнению. Рассмотрим это для комбинации . В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции, получим
сравнивая вторые производные от U по t и x, видим что они отличаются только множителем с2, так что функция от линейной комбинации будет решением волнового уравнения.
Положение точки заданного значения аргумента в пространстве перемещается со скоростью с. При этом, если в указанной линейной комбинации выбран знак «-», то точка движется в положительном направлении оси х. При знаке «+» движение происходит в противоположную сторону. Из этого следует, что одним из частных решений волнового уравнения будет произвольный профиль U(x), перемещающийся вправо или влево с постоянной скоростью с без изменения формы (рис.).
На рис. представлен «мгновенный снимок» решения в два момента времени. В начальный момент профиль занимает положение 1, спустя некоторое время – положение 2. Форма кривой не претерпевает изменений. При замене знака «-» на «+» следует, наоборот, считать, что начальное положение есть 2, а конечное – 1.
Волновым решением уравнения (1) будем называть решение, гармоническое, как во времени, так и в пространстве. Покажем один из возможных способов получения волнового решения. Будем искать его методом разделения переменных, то есть попытаемся отыскать решение в форме:
U(x,t) = X(x)T(t). (2)
Здесь X(x) – функция только координаты, а T(t) – функция только времени.
Подставив (2) в (1) и разделив левую и правую части на произведение XT, мы получим:
. (3)
Поскольку Т и Х зависят только от своих единственных аргументов, далее более правильно использовать не частные производные, а обыкновенные.
В левой части (3) может быть зависимость только от t, а в правой – только от х. Такое возможно, только если и левая и правая части не зависят ни от времени, ни от координаты. Следовательно, обе части равны одной и той же постоянной, которую мы обозначим как p2. Теперь из уравнения (3) мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:
(4)
Будем искать решение первого из этих уравнений в виде . Подстановка в соответствующее уравнение приводит к так называемому характеристическому уравнению , имеющему два корня +p и –p. Общее решение записывается в форме
(5)
А1 и А2 – произвольные комплексные постоянные. Поскольку нас интересует волновое (периодическое во времени) решение, необходимо считать константу p чисто мнимой величиной p = iω. В этом случае , и комбинируя комплексные постоянные А1 и А2, можно получить любое из колебательных решений. Очевидно, что величина ω имеет тот же смысл, что и при рассмотрении колебательных процессов – циклическая частота. Подстановка p = iω во второе из уравнений (4) приводит к соотношению, формально совпадающему с уравнением колебаний, в котором время t заменено координатой х:
(6)
Отношение , имеющее размерность обратной длины, называется волновым числом. Частными решениями (6) будут функции , cos(kx), sin(kx), которые можно комбинировать в виде сомножителей с (5). Стандартным волновым решением (или просто волной) в одномерном случае будем называть решение
, (7)
или его комплексный аналог
. (8)
Преобразованием начальной фазы можно перейти от к . Кроме того, произведения , , , также будут удовлетворять исходному волновому уравнению.