Уравнения для электромагнитного поля в квазистационарном приближении

Стационарные поля рассматривали в курсе “электричество и магнетизм”. Задача электродинамики состоит в рассмотрении изменения электромагнитных полей во времени. Перейдем теперь к исследованию таких полей, для чего обратимся снова к системе уравнений Максвелла. Будем считать, что сторонние токи и заряды отсутствуют: j_cm=0, ρ_cm=0. Учитывая линейность уравнений Максвелла, разложим все величины в интеграл Фурье по времени, например

. (38)

В дальнейшем для сокращения записи будем использовать обозначение

E_ω=E(r,ω). (39)

Подставляя для всех величин разложения типа (38) в уравнения Максвелла, получаем уравнения для соответствующих Фурье компонент E_ω, H_ω и т.д. Решив их, можно найти E(r,t) и другие характеристики электромагнитного поля. Поэтому для исследования общего случая достаточно рассмотреть ситуацию, когда напряженность поля зависит от времени по гармоническому закону с фиксированной частотой , например

. (40)

Обратим внимание на то, что E в (40) комплексная величина. До тех пор пока соотношения линейные, это не приведет ни к каким недоразумениям. В окончательных ответах и при вычислении различных нелинейных комбинаций нужно использовать реальные части выражений типа (40).

В каждом конкретном случае частота  поля должна сопоставляться с характерными частотами _о рассматриваемой задачи. Если >>_о, то поля называют высокочастотными (быстропеременными), если <<_о – низкочастотными (медленно меняющимися).

Для выяснения того, какие именно величины играют роль характерных частот _о, обратимся к уравнениям связи (рассмотрим случай изотропной, непироэлектрической и неферромагнитной среды, для которой =1).

D=εE, B=H, j=σE, . (41)

Уравнения (41), как мы знаем, справедливы в стационарном случае (=0) и ,  - константы. Однако, при <<_о величины ,  с хорошей точностью совпадают со своими статическими значениями ( при =0).

Рассмотрим связь D=εE. Как мы знаем,  определяется поляризацией среды, т.е. смещением связанных зарядов под действием поля. Если поле изменяется достаточно медленно, то эти смещения успевают следовать за напряженностью поля и  не изменяется по сравнению со статическим значением. Медленность изменения напряженности означает, что <<_о =1/ где  - характерное время установления поляризации в веществе. Например, в твердом теле поляризация определяется электронами и _о~ ~10¹⁵ 1/с, где E ~1эВ – порядок расстояния между энергетическими полосами. Для газа полярных молекул  - время релаксации макроскопического дипольного момента, т.е. время, необходимое для выстраивания молекулярных диполей по направлению линий напряженности. При рассмотрении связи j=σE роль характерной частоты _о играет величина 1/, где  - время свободного пробега электрона, так как проводимость  определяется тем, насколько свободно электроны могут перемещаться в веществе. Для хороших металлов 1/ ~ 10¹³ 1/с, и при <<1/ значения  практически совпадает со своим статическим значением, так как поле в этих случаях не нарушает микроскопического механизма проводимости.

Электромагнитное поле называется квазистационарным, если в уравнении Максвелла пренебрегается током смещения

, (42)

тогда

. (43)

Обсудим ограничения, позволяющие использовать уравнение (43). В области внутри проводника при наличии тока проводимости пренебрежение током смещения не внесет существенной ошибки, если

j = E >>  ~ E, т.е. при

ω<<σ/ε. (44)

Для хороших металлов,  ~ 10¹⁷ 1/с, =1, видим, что условие (44) является более слабым, чем отмеченное выше условие <<10¹³ 1/с. В области вне проводника j = 0 и возможность пренебрежения током смещения оценивается из сравнения пространственных и временных производных напряженностей поля, а именно: мы хотим в уравнении

, (45)

где для простоты положено  =1, пренебречь правой частью, т.е. считать скорость изменения напряженности поля во времени малой по сравнению со скоростью ее изменения в пространстве. Оценивая левую и правую части в (45) приходим к неравенству

, (46)

где l – характерная длинна изменения напряженности электромагнитного поля в пространстве. Из уравнения получаем оценку, связывающую между собой величины Е и Н:

. (47)

Исключая из (46) Е с помощью (47) приходим к условию

, (48)

выполнение которого определяет применимость квазистационарного приближения в области, где ток проводимости отсутствует. Здесь  - длина волны электромагнитного поля, l – значение порядка характерной длины проводника. Поэтому равенство (48) ограничивает размер проводника L<<. С другой стороны, в достаточном удалении от проводника, где напряженность поля изменяется в пространстве степенным образом роль l играет r – расстояние от точки наблюдения до проводника. Поэтому квазистационарное приближение работает только в некоторой области вблизи проводника, так что r<<. Отметим, что физически это условие означает пренебрежение эффектом запаздывания при распространении электромагнитного поля.

Итак, в квазистационарном приближении электромагнитное поле описывается системой уравнений

, (49)

, (50)

. (51)

Вне проводника =0 и уравнение (49) принимает вид

. (52)

Взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (49) с учетом того, что  - не зависит от координат получаем

, (53)

так как ток проводимости течет только внутри проводника, то j_n|_s=σE_n|_s=0, т.е. на поверхности проводника

σE_n|_s=0. (54)

Из уравнения (50) следует непрерывность нормальных компонент на границе проводника

(55)

где индексы i и e указывают на поле внутри и вне проводника.

Из (49) с учетом конечности E и  следует непрерывность тангенциальных компонент вектора H:

(56)

Следовательно, на границе проводника вектор H непрерывен .

Из уравнений (49)-(51) нетрудно получить уравнения только для H или для E. Например, взяв ротор от обеих частей уравнения (49) и исключая rotE с помощью (51) получим

. (57)

Аналогично получается уравнение и для E

. (58)

Сделаем следующие замечания относительно применимости квазистационарного приближения. Условия (44), (48) могут оказаться более слабыми, чем требование отсутствия зависимости  и  от . Поэтому иногда рассматривают задачи в квазистационарном приближении с учетом зависимости  и  от . Имеется еще одно условие, ограничивающее применимость этих упрощенных уравнений. Дело в том, что мы рассматриваем макроскопические поля, поэтому длина свободного пробега электрона в проводнике должна быть малой, по сравнению с расстоянием l, на котором существенно меняется напряженность поля внутри проводника. Как будет видно из дальнейшего, l уменьшается с ростом . Именно отсюда для хороших металлов вытекает самое сильное ограничение на частоту поля:  << 10¹⁰ 1/c.