Волны e-типа

Для функции φ, определяющей электрические волны, имеет место уравнение

при условии на границе φ = 0. Решение уравнения найдем в виде φ(x,y) = X(x) Y (y).

Для функций X и Y аналогично предыдущему можно записать

Граничные условия теперь другие. А именно при x = 0 X = 0, откуда следует, что

при y = 0 Y = 0, откуда

при x = a X = 0, т.е. sing_xa = 0, откуда

при y = b Y = 0, т.е. sing_yb = 0, откуда

Функция φ(x, y) равна

Заметим, что ни один из индексов n и m в этом случае не может принимать нулевое значение, так как это приведет к тождественному обращению в нуль функции φ. Как и для магнитных мод, собственные значения определяются соотношением

Отсюда могут быть найдены критические длины волн (для вакуума):

Теперь можно записать также выражения для составляющих поля:

Так как n и m не могут принимать нулевые значения, то самой низкочастотной модой будет E₁₁, для которой критическая длина волны равна

Данная критическая длина волны меньше критической длины волны самой низкочастотной магнитной моды H₁₀, равной 2a. Обратим внимание на то, что собственные значения и соответственно критические длины волн λ_nm для высших электрических и магнитных мод совпадают. Таким образом, имеет место двукратное вырождение для мод с ненулевыми индексами.

Для волны E₁₁ имеем

Рассмотрим структуру поля E₁₁ (рис. 7–8).

Поля высших мод получаются путем многократного повторения картины поля E₁₁. Найдем также линии токов в стенках. Так как магнитное поле для E-мод поперечно, то, очевидно, токи могут быть только продольными (рис. 9).

Пунктирными линиями на рисунках изображены силовые линии магнитного поля.

Резонаторы

Объемный резонатор представляет собой объем, ограниченный со всех сторон металлической оболочкой. В первом приближении можно предположить, что стенки являются идеально проводящими. Если в таком объеме возбуждены электромагнитные колебания, то они будут постоянно там существовать.

Простейшие резонаторы получаются, если перегородить линию передачи металлическими перегородками в двух сечениях. Легко показать, что в такой системе возможны свободные колебания. Действительно, пусть на стенку, закорачивающую волновод, падает волна. При этом вследствие полного отражения возникает стоячая волна, в которой имеются сечения, где E_х=0 и E_у=0. Если в такое сечение поместить металлическую перегородку, то ничего не изменится. Волна будет многократно отражаться, не затухая (при идеальной проводимости стенок). Очевидно, что это возможно, когда длина резонатора кратна длине полуволны (Λ/2) в волноводе (см. рис.).

В таких волноводных резонаторах колебательные моды делятся, как и в волноводах, на электрические и магнитные, и для их описания можно пользоваться тем же аппаратом потенциальных функций φ и ψ. При этом, однако, зависимость от z описывается уже не множителями , а множителями и . Это связано с тем, что поля получаются путем суммирования прямой и обратной волн равной амплитуды. Найдем, например, поля магнитных мод. Для волновода (прямая волна)

.

Поле в резонаторе получается путем вычитания падающей и отраженной волн (чтобы удовлетворить граничному условию при z=0):

.

Далее, для волновода

.

Для резонатора соответственно

Для волновода

.

Для резонатора соответственно

Чтобы удовлетворить граничному условию на второй перегородке, должно быть sinβL=0, откуда βL=lπ,

Можно получить также собственные значения, учитывая, что

.

Подставляя β² в предыдущее выражение, получаем

.

Нетрудно видеть, что при l=0 поле исчезает, так как для этого необходимо, чтобы β=0 (так как ).

Электрические моды в резонаторе могут быть записаны через функцию φ в следующем виде:

Граничные условия при z=L выполняются также при sinβL=0, т.е. при βL=lπ, откуда

.

В этом случае при l=0 (т. е. при β=0) поле не исчезает. Обращаются в нуль лишь E_х и E_у. Это значит, что поле оказывается чисто продольным. Собственные значения при этом равны , т.е. резонансные частоты совпадают с критическими частотами волновода и не зависят от длины резонатора.

Прямоугольный резонатор

Для прямоугольного волновода

,

откуда

Как видно, все размеры резонатора входят симметрично, что вполне естественно, так как в таком резонаторе любая из осей может быть принята за ось z.

Так как для прямоугольного волновода, то каждая из собственных мод резонатора является дважды вырожденной (магнитные и электрические моды). Кроме того, в таком резонаторе нет различия между магнитными и электрическими модами, так как это зависит от выбора осей. Исключение в смысле вырождения составляют моды с одним из индексов, равным нулю, так как электрические моды с нулевым индексом отсутствуют. Для вырожденных мод свободные колебания могут быть представлены в виде суперпозиции двух собственных функций.