- •Основные понятия теории колебаний
- •1. Волновое уравнение
- •1.1. Поперечные волны в струне
- •Электромагнитные волны в вакууме
- •Решения волнового уравнения Решение одномерного волнового уравнения
- •Стоячие и бегущие волны
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны
- •Дисперсия и групповая скорость Дисперсионное соотношение
- •Биения волн
- •Спектральный анализ
- •Волновые пакеты
- •Электромагнитные волны Электромагнитное поле в среде
- •Плоские электромагнитные волны
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Распространение электромагнитных волн в поглощающих средах
- •Энергия и поток энергии электромагнитного поля в веществе
- •Уравнения для электромагнитного поля в квазистационарном приближении
- •Дисперсия диэлектрической проницаемости
- •Связь между дисперсией и поглощением. Дисперсионные соотношения Крамерса – Кронига
- •Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках
- •Диэлектрическая проницаемость и распространение волн в средах со свободными зарядами
- •Диэлектрическая проницаемость плазмы в магнитном поле
- •Геликоны в проводниках
- •Электромагнитные волны в анизотропных средах
- •Приближение геометрической оптики
- •Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред
- •Прохождение электромагнитных волн через гиротропный диэлектрик
- •Волноводы Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и h-моды
- •Прямоугольные волноводы. Волны h-типа
- •Волны e-типа
- •Резонаторы
- •Нелинейные процессы. Нелинейная поляризация вещества
- •Нелинейная восприимчивость
- •Генерация гармоник
- •Самовоздействие света в нелинейной среде
Прохождение электромагнитных волн через гиротропный диэлектрик
При помещении изотропного диэлектрика в постоянное магнитное поле H происходит понижение симметрии тензора ik=ik до одноосного, т.е. среда становится гиротропной. Тензор можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, которые в системе координат связанной с осью z, направленной вдоль H, имеют вид
(1)
Уравнение связи в этом случае можно записать в виде
, (2)
где g – вектор гирации. В слабых полях g и H связанны линейно g=fH, – некоторый коэффициент пропорциональности. Вектор гирации g определяет, при распространении волн в среде, гиротропные эффекты: магнитное круговое двупреломление и магнитный круговой дихроизм. Здесь мы рассмотрим только магнитное круговое двупреломление (эффект Фарадея).
Рассмотрим распространение плоской электромагнитной волны в изотропном диэлектрике, помещенном в магнитное поле H||z, и предположим, что волновой вектор k||z. Уравнения Максвелла с учетом (2) запишутся в виде (для плоской волны):
. (3)
Исключая H из системы (3) получим систему уравнений для определения дисперсионного уравнения электромагнитных волн в гиротропной среде
. (4)
Условия разрешимости этой системы есть
(5)
или
, (6)
откуда
. (7)
Подставляя (7) в (4) получаем, что
. (8)
Абсолютные значения векторов Ex, Ey равны, но эти векторы сдвинуты по фазе друг относительно друга на /2. Это означает, что одна волна имеет правую круговую поляризацию, а другая – левую. Т.к. у волн волновые векторы различны, то и показатели преломления так же будут различны.
Моды с правой и левой круговой поляризацией можно записать в виде (E= Ex iEy):
. (9)
Рассмотрим как влияет магнитное круговое двупреломление на прохождение электромагнитной волны через гиротропную среду. Пусть на “вход” среды (z=0) поступает линейно поляризованная (по оси x) электромагнитная волна с амплитудой . Она возбуждает в среде две моды с собственными векторами и
, (10)
константы 1 и 2 определяются из граничных условий при z=0 на тангенциальные составляющие вектора электрического поля волны Ех = Ео, Еу=0; откуда получаем
1+2=Ео, i(1-2)=0 (11)
и . При z>0 имеем
, (12)
где , .
Из (12) видно, что отношение определяет тангенс угла поворота плоскости поляризации
, (13)
где , (14)
здесь z имеет смысл длины пути, пройденного волной в среде. Величина – вещественная; это соответствует тому, что линейная поляризация волны сохранилась, но плоскость поляризации по сравнению с плоскостью поляризации на входе оказывается повернутой на угол
, (15)
если , то (15) примет вид
. (16)
Величина называется постоянной Верде, а сам эффект вращения плоскости поляризации – эффектом Фарадея.
Волноводы Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и h-моды
В линиях с двух- или многосвязным сечением кроме поперечных волн могут распространяться также волны с продольными составляющими поля, если частота превосходит некоторое критическое значение. Электромагнитное поле в волноводе удовлетворяет однородным уравнениям Максвелла
, .
Исключая поочередно электрическое и магнитное поля, можно перейти к уравнениям Гельмгольца для каждого из полей:
Так как Ez и Hz декартовы составляющие, то для них уравнения Гельмгольца дают
где - лапласиан, действующий лишь на поперечные координаты. Уравнения можно решать разделением переменных:
Подставляя и разделяя переменные, получаем
где γ - постоянная разделения.
Из этих уравнений следует, что зависимость поля от z экспоненциальна: . При этом , так как в случае равенства поперечное поле должно быть статическим, как это следует из полученных уравнений. Кроме уравнений Максвелла, поля удовлетворяют граничным условиям, которые для идеально проводящих стенок имеют вид
где Et - тангенциальная составляющая электрического поля на поверхности металла, Hn - нормальная составляющая магнитного поля на этой поверхности.
Найдем решения уравнений Максвелла. Для этого запишем их для декартовых составляющих векторов поля, учитывая экспоненциальную зависимость их от z
Записанные уравнения позволяют выразить поперечные компоненты Ex, Ey, Hx, Hy через продольные Ez, Hz. Для этого подставим в первое уравнение Ey, взятое из пятого. Тогда получим
или (обозначая )
.
Аналогично получим
Составляющие Ez и Hz должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца
или, учитывая, что , получаем
Данные уравнения могут быть получены и непосредственно из третьего и шестого из написанных выше уравнений, если подставить в них Ex , Ey , Hx и Hy. Введем следующие обозначения:
где φ(x, y), ψ(x,y) некоторые скалярные функции поперечных переменных. Эти функции должны, очевидно, удовлетворять уравнениям
или обозначая
Составляющие полей выражаются через функции φ(x, y) и ψ(x,y)
Нетрудно проверить, что эти соотношения могут быть записаны в виде
где z0 - единичный вектор в направлении оси z.
Действительно, если исходить из известных векторных тождеств
можно получить
Подставляя эти выражения, получаем
Данные соотношения, если их записать в декартовых составляющих, приводятся к полученным выше. Векторы - это векторы Герца. Таким образом, векторы поля выражаются через электрический и магнитный векторы Герца, имеющие в данном случае только продольные (z) составляющие. Найдем граничные условия на поверхности для потенциальных функций φ и ψ. Для этого необходимо выразить тангенциальную компоненту электрического поля Et и нормальную магнитного поля Hn на поверхности через φ и ψ. Тангенциальную компоненту Et можно разложить на составляющую в направлении оси z и составляющую, лежащую в плоскости сечения, т.е. касательную к контуру поперечного сечения. Обе составляющие должны быть равны нулю. Из равенства Ez = 0 на поверхности получаем φ=0 на контуре сечения C.
Чтобы найти касательную к контуру сечения составляющую Es введем в произвольной точке контура два орта s, n причем n направлен внутрь волновода (рис. 1). Тогда по аналогии с выражением для Ey (отождествляя направление y с s, а направление x с n
Так как φ=0 на C, то для того чтобы Es = 0, необходимо и достаточно, чтобы ∂ψ/∂n = 0 на контуре C. Покажем, что эти условия обеспечивают также равенство Hn = 0 на C. Для этого запишем выражение для Hn по аналогии с выражением для Hx:
Итак, граничные условия для функций φ и ψ имеют вид
а сами функции удовлетворяют уравнениям
Задача распадается на две: отдельно для φ и ψ. В итоге имеем две системы решений. Для одной поле выражается только через функцию φ, при этом отлична от нуля z-компонента электрического поля, для другой поле выражается через ψ-функцию, отлична от нуля z-компонента магнитного поля.
Известно, что такие задачи имеют нетривиальные решения при определенных значениях g2 - собственных значениях задачи. В общем случае эти значения различны для φ и ψ функций. Функции φ и ψ, представляющие собой нетривиальные решения указанной выше задачи, называют собственными функциями. Можно показать, что собственные значения вещественны и положительны. Для этого можно исходить из формулы Грина для произвольных функций φ и ψ:
где S – область на плоскости, С – контур, ограничивающий эту область.
Заменим φ на ψ*. Тогда
вследствие граничных условий. Кроме того, ∆ψ = −g2ψ из уравнения. Подставляя это в равенство, полученное из формулы Грина, находим
откуда следует, что g2 > 0. Полученная формула позволяет найти собственное значение, если известна соответствующая собственная функция. Собственные значения образуют возрастающую счетную последовательность положительных чисел, среди которых имеется отличное от нуля наименьшее число: g12, g22, ... , gn2, .. . Эта последовательность не имеет точек сгущения, за исключением ∞. Каждому собственному значению соответствует одна или больше собственных функций. Можно показать, что собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на сечении волновода S:
Для доказательства воспользуемся второй формулой Грина:
Правая часть этого равенства обращается в нуль в силу граничных условий на контуре сечения волновода
Подставляя сюда из уравнений ∆φn = −gn2 φn, ∆φm = −gm2·φm, получаем
Так как по предположению , то
Аналогично доказывается, что
В случае вырождения, т. е. когда φn и φm соответствуют одному и тому же собственному значению, они могут и не быть ортогональны. Известно, что в этом случае возможен процесс ортогонализации, т.е. можно подобрать такие линейные комбинации из этих функций, которые будут ортогональны друг к другу, оставаясь при этом собственными функциями (соответствующими одному собственному значению). Постоянная распространения для данной моды γn может быть определена, если известно собственное значение gn2:
Распространение без затухания имеет место, если γn мнимая величина, т. е. если выполняется неравенство
Это условие можно записать иначе:
критическая частота для n-й моды. Если это условие выполняется, то постоянная распространения равна
Отсюда можно найти длину волны в волноводе и фазовую скорость. Действительно,
где Λn - длина волны в волноводе, λ - длина волны в неограниченном пространстве с параметрами µ, ε. Подставляя это в выражение для γn , получаем (gn=2π/λn):
откуда
Фазовая скорость может быть найдена по известной длине волны:
Итак, волны, распространяющиеся в волноводе, могут быть представлены в виде суммы электрических (E или TM, ψ ≡ 0) и магнитных (H или TE, φ ≡ 0) волн. Им соответствуют две системы векторных функций, электрические - и магнитные - .
Отметим, что векторные функции взаимно ортогональны в том смысле, что
при . Интегралы берутся по сечению волновода. Данное свойство позволяет рассматривать волны различных мод как независимые, так как благодаря ортогональности энергия и мощность складываются из энергии и мощности отдельных мод. Запишем выражение для H-волн через потенциальную функцию ψ:
Поперечные составляющие электрического и магнитного векторов перпендикулярны, что следует из равенства нулю их скалярного произведения
Из приведенных выше формул следует, что поперечные составляющие поля связаны между собой соотношением (для каждой моды)
где . Для распространяющихся мод Zh вещественно:
Для E-волн поле может быть записано в виде
здесь также перпендикулярны. Кроме того, причем . Для распространяющихся волн Ze вещественно:
Ранее было показано, что волна в волноводе может распространяться, если выполняется условие
причем среди gn имеется наименьшее, например g1. Отсюда следует, что по данному волноводу при заданной частоте может распространяться лишь конечное число мод; это число растет с ростом частоты. В частности, существует интервал частот, в котором в волноводе может распространяться лишь одна мода.