Связь между дисперсией и поглощением. Дисперсионные соотношения Крамерса – Кронига

Необходимость связи между дисперсией и поглощением следует из фундаментального принципа причинности. Поглощение на определённой частоте должно сопровождаться частотно-зависимыми фазовыми сдвигами для всех других составляющих спектра сигнала. Поэтому должны существовать интегральные формулы, связывающие дисперсионные и диссипативные характеристики сред. В электродинамике эти связи принято записывать для действительной и мнимой частей диэлектрической проницаемости, и они определяются интегральными соотношениями, которые называются формулами Крамерса - Кронига:

Для диэлектриков, не обладающих проводимостью при ω=0, σ(0)=0. Эти формулы устанавливают универсальную связь между действительной и мнимой частями комплексной диэлектрической проницаемости. Из них следует, что диспергирующая среда всегда является средой поглощающей. Формулы Крамерса-Кронига имеют важное практическое значение. Чаще всего в эксперименте удаётся с достаточной точностью и в широком диапазоне частот измерить зависимость мнимой части диэлектрической проницаемости ε"(ω), а провести прямой эксперимент по измерению ε'(ω) нет возможности. Тогда либо строят эмпирическую зависимость для ε"(ω) по данным эксперимента и с помощью соотношений Крамерса - Кронига находят зависимость ε'(ω), либо используют эти соотношения для численного построения кривых ε'(ω) по данным экспериментов для ε"(ω).

Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках

Для нахождения зависимости ε от частоты (закона дисперсии) необходимо решить задачу о взаимодействии электромагнитной волны с имеющимися в среде зарядами. Диэлектрики условно разделяются на два типа – неполярные и полярные. В молекулах неполярных диэлектриков заряды электронов точно компенсируют заряды ядер. В этом случае в отсутствие электромагнитного поля молекулы не обладают дипольным моментом. Под действием поля волны происходит смещение электронов (ионы при этом можно считать неподвижными, поскольку их масса велика по сравнению с массой электронов) и каждая молекула поляризуется – приобретает дипольный момент p=er. Если диэлектрик однороден и в единице объёма содержится N одинаковых молекул, то вектор объёмной плотности поляризации равен P=Np. Для определения вектора Р необходимо решить уравнения движения электронов в молекуле под действием поля волны и найти смещение электронов как функцию поля. В классической теории дисперсии молекула представляется в виде одного или нескольких линейных гармонических осцилляторов, соответствующих нормальным колебаниям электронов в молекуле. Рассмотрим уравнение движения одного такого осциллятора:

. (1)

Здесь m – эффективная масса; ν - константа, учитывающая затухание колебаний, например, вследствие процессов излучения; ω₀ - резонансная угловая частота нормального колебания; E_d(t) - поле, действующее на диполь. Действующее поле в однородном изотропном диэлектрике отличается от среднего макроскопического поля в среде и равно:

.

При гармонической зависимости от времени поля Е, из уравнения (1) получим следующее соотношение:

.

Отсюда удобно выразить Р:

. (2)

Учитывая, что D = εE = E+4πP, из (2) найдем

.

Отделяя в (3) действительную и мнимую части, получим

, (3)

где .

В случае низких частот, удовлетворяющих условию , придём к выражению для статической диэлектрической проницаемости:

.

Для твёрдых диэлектриков ε(0) может значительно превышать единицу. В газах плотность поляризованных молекул обычно невелика. При этом и можно считать, что ε мало отличается от единицы. Поэтому

.

Отсюда для показателей преломления и поглощения получим:

. (4)

Выясним, как зависят эти параметры от частоты. Если выполняется условие , т.е. частота волны далека от резонансной, то

- показатель преломления мало отличается от единицы. При и функция увеличивается с ростом частоты. При , но функция также увеличивается с ростом частоты, приближаясь к 0. Показатель поглощения в этом диапазоне частот мал. Вблизи резонанса показатель преломления уменьшается с ростом частоты. При условии точного резонанса, когда , величина n обращается в единицу, а показатель поглощения принимает максимальное значение (рис.). Область частот, в которой показатель преломления убывает с увеличением частоты, называется областью аномальной дисперсии; здесь имеет место возрастание фазовой скорости.

Мы рассмотрели модель, дающую закон дисперсии для диэлектриков, молекулы которых приобретают дипольный момент только во внешнем поле. Но молекулы полярных диэлектриков (например, воды ) обладают дипольным моментом и в отсутствие поля. Механизм поляризации такого диэлектрика сводится к ориентирующему действию поля волны. Для таких диэлектриков:

где ε(0) – статическая диэлектрическая проницаемость, τ - время релаксации – время переориентации диполей. Функция ε", а значит и потери энергии, имеют максимум при ωτ=1. В парах воды τ ≈ 10^-11 с, поэтому “резонансное поглощение” возможно только в миллиметровом диапазоне электромагнитных волн.

Остановимся более подробно на анализе практически важной зависимости ε(ω) для воздуха, представляющего собой смесь молекул газов (азота , кислорода и т.д.) и паров воды. При ωτ<<1 дисперсия для паров воды несущественна. Поэтому при распространении волн сантиметрового диапазона и более длинных в тропосфере можно пользоваться формулой:

.

Здесь мы считали, что поле в среде равно полю волны, и пренебрегли соударениями. Собственные частоты молекул газов ω²_i0, входящих в состав воздуха, лежат в области > 15∙ГГц. Поэтому для волн с λ>3 см дисперсии почти нет. Однако в оптическом и миллиметровом диапазонах имеются области резонансного поглощения волн. Поэтому для целей радиосвязи в тропосфере в этих диапазонах необходимо выбирать “окна прозрачности”, т.е. пользоваться частотами, не совпадающими с собственными частотами среды.