Плоские электромагнитные волны
Одним из частных решений уравнений Максвелла являются однородные плоские волны. Рассмотрим бесконечное трёхмерное пространство с заданными параметрами ε, µ, σ, одинаковыми во всех точках среды. Предположим, что свободные электрические заряды отсутствуют, т.е. ρ=0. Электромагнитный процесс, гармонически изменяющийся во времени с частотой ω, характеризуется комплексными амплитудами полей E, H, которые удовлетворяют системе уравнений Максвелла:
(9)
где
.
Преобразуем эту систему к волновому уравнению. Для этого возьмём rot от второго уравнения:
,
(10)
учитывая, что получим
. (11)
Обозначим:
волновое число
Решение данной системы относительно трёх неизвестных функций Ex, Ey, Ez, каждая из которых зависит от трёх координат x, y, z, описывает в общем случае поле с весьма сложной пространственной конфигурацией. Введём некоторые упрощения. Пусть 1) Ex≠0, Ey=Ez=0, 2) отличная от нуля проекция Ex зависит лишь от координаты z, т.е. ∂/∂x= ∂/∂y=0. Тогда система сводится к уравнению:
. (12)
Решение этого уравнения имеет вид:
,
(13)
где A и B произвольные постоянные.
Найдя комплексную амплитуду вектора напряжённости электрического поля, можно определить комплексную амплитуду вектора напряжённости магнитного поля:
.
(14)
Отсюда можно сделать выводы:
1) если вектор E ориентирован вдоль оси x, то вектор H направлен вдоль оси y, т.е. в однородной плоской электромагнитной волне вектора E, H, - перпендикулярны;
2) оба вектора E, H, перпендикулярны оси распространения z, поэтому однородная плоская электромагнитная волна является поперечной волной;
3)
значения комплексных амплитуд векторов
E, H, в любой точке пространства
связаны некоторым коэффициентом
пропорциональности
.
Z0 - волновое
(характеристическое) сопротивление или
импеданс среды;
4)
скорость перемещения фронта волны:
- фазовая скорость совпадает со скоростью
света в данной среде.
В общем случае электромагнитное поле падающей волны содержит обе поперечные составляющие, тогда
(15)
Вычислив скалярное и векторное произведения этих величин, можно убедиться, что при произвольных A и C, вектора напряжённостей электрического и магнитного полей образуют с направлением распространения правую тройку взаимно перпендикулярных векторов:
. (16)
Поляризация электромагнитных волн
Так как электромагнитная волна имеет векторный характер, то необходимо указывать её поляризацию, т.е. направление векторов E, H, в пространстве. Направление каждого из этих векторов может изменяться в пространстве и времени в зависимости от соотношения комплексных амплитуд A и C. Запишем выражение для мгновенного значения напряжённости электрического поля:
. (17)
Найдём длину вектора Е и угол, который он образует с осью x:
(18)
Обе эти величины есть функции времени и координаты. Зависимость угла α от t, z определяет поляризацию волны. Рассмотрим некоторые случаи.
1. Пусть φА= φС, тогда
. (19)
Видно, что направление вектора Е остаётся в пространстве неизменным, а длина его меняется по косинусоидальному закону. Такая волна называется линейно поляризованной.
2. Пусть А=С, φС =φА - π/2, тогда E(z,t)=A, α=ωt-kz+φA. Видно, что длина вектора Е остаётся постоянной, а угол линейно зависит от координаты и времени. Конец вектора Е описывает в плоскости z=const окружность, а в момент времени t геометрическим местом конца этого вектора является винтовая линия. При увеличении z Е поворачивается по часовой стрелке. Такая волна имеет левую круговую поляризацию. Если φС =φА + π/2, то волна будет с правой круговой поляризацией.
В общем случае амплитуда и направление вектора Е не остаются постоянными. Волну такого типа называют эллиптически поляризованной. Её можно представить как суперпозицию волн с линейной и круговой поляризацией. Состояние поляризации гармонической волны удобно характеризовать коэффициентом поляризации:
(20)
Если P - комплексное число, то волна с эллиптической поляризацией; если P - действительное число, то волна линейной поляризации; если P - мнимое, то волна круговой поляризации.