Самовоздействие света в нелинейной среде

Для изотропных сред или кристаллов с центром симметрии должно соблюдаться соотношение

(1)

Отсюда следует, что в выражении

исчезают все члены, содержащие четное число множителей . Поэтому первая нелинейная поправка дается кубическим членом и поляризация принимает вид

,

(2)

откуда

.

(3)

Тогда диэлектрическая проницаемость зависит от Е²

 = 1 + 4 + 4a3Е2.

(4)

Показатель преломления определяется соотношением

,

(5)

т.к. нелинейная поправка к показателю преломления много меньше единицы:

.

(6)

Таким образом, (5) можно записать как

n = n0 + n2 Eo2 .

(7)

Здесь произведено усреднение квадрата напряженности поля по периоду колебаний, поэтому Е₀ является амплитудой напряженности электрического поля волны: n₀ - линейный показатель преломления света, а n₂ E_o² описывает нелинейную поправку к показатлю преломления.

Р ассмотрим распространение пучка света в диэлектрической среде с показателем преломления в виде (7). Будем для определенности считать сечение пучка круглым, а распределение интенсивности – гауссовым (E₀(r) = A₀exp(-r²/2r₀²), где A₀ - амплитуда волн в центре пучка (r = 0), r – расстояние от центра, r₀ – радиус в пучке на котором интенсивность убывает в е = 2,7 раз).

Плотность потока энергии по сечению пучка непостоянна, следовательно, и показатель преломления (7) изменяется по сечению пучка. В зависимости от характера нелинейности знак поправки в (7) может быть как положительным, так и отрицательным.

Если нелинейная поправка положительна, то скорость движения периферических участков пучка больше, чем центральных. В результате плоский волновой фронт становится вогнутым в сторону распространения пучка и происходит его фокусировка к оси (рис. а).

Е сли нелинейная поправка отрицательна, то скорость движения центральных участков пучка больше, чем периферических. В результате плоский волновой фронт становится выпуклым в сторону распространения пучка и происходит его дефокусировка от оси (рис. б).

Обозначим радиус пучка через a, Е₀ – амплитуда напряженности электрического поля на оси, амплитуду на расстоянии а от оси будем считать равной нулю.

Н айдем длину самофокусировки пучка в среде. По определению, длиной самофокусировки называется путь l_сф, при прохождении которого в нелинейной среде пучок сходится к оси или, как говорят, схлопывается.

На длине l_сф между осевым лучом и крайними лучами пучка образуется разность фаз

 =  n lсф / c,	(8)
где n = n2E02	(9)

Из рис. в. следует, что

(10)

при условии, что a / l_сф <<1. При изображенном на рис. в. изгибе волнового фронта разность фаз равна

1 =  n0 b / c   n0 a2 / (2 c lсф).

(11)

В (11) для b использовано выражение (10). Разности фаз (8) и (11) должны быть равны

 n lсф / c =  n0 a2 / (2 c lсф),

(12)

откуда

.

(13)

Эксперимент хорошо подтверждает зависимость l_сф  a/E₀. Эффект заметен уже при сравнительно малых n / n. Из (13) имеем

(14)

и, например, при n / n  0,510^-4 получаем a/l_сф  10^-2, что не трудно наблюдать.

Выразим E₀ через плотность потока энергии излучения, предполагая распредение амплитуд волн в пучке в виде

.

(15)

Для средней плотности потока энергии имеем выражение

(16)

Мощность потока энергии в пучке равна

(17)

где  - площадь поперечного сечения пучка. Выполнив интегрирование, находим

(18)

Н апример, у сероуглерода n₀ = 1,62; n₂ = 0,2210^-19 м²/В², и для получения l_сф = 10 см при а = 1 см мощность составляет 10 МВт.

Требуемая для самофокусировки мощность потока энергии в пучке уменьшается с уменьшением радиуса а пучка. Однако при уменьшении радиуса пучка увеличивается дифракционная расходимость, для преодоления которой необходимо увеличить мощность потока энергии в пучке. Пороговой называется минимальная мощность, вызывающая схлопывание пучка. Она может быть найдена из следующих соображений.

За счет нелинейности пучок схлопывается на длине l_сф. Это означает, что периферийный луч пучка отклоняется от направления оси на угол

1  a / lсф .

(19)

Из-за дифракции периферийный луч пучка отклоняется от направления оси на угол

2   / (a n0).

(20)

Пороговую мощность находим из условия

1 = 2,

(21)

принимающего с учетом (19) и (20) вид

a/lсф = /(a n0).

(22)

Учитывая (13) получаем

.

(23)

Возводя обе части (23) в квадрат находим

.

(24)

Подставляя (24) в (18) имеем

.

(25)

При P > P_пор пучок фокусируется, а при P < P_{пор ­}– испытывает дифракционную расходимость. Пороговая мощность не зависит от радиуса пучка и уменьшается с уменьшением длины волны. Например, для сероуглерода при облучении рубиновым лазером с  = 694,3 нм, Р_пор = 23 кВт.