1. Волновое уравнение

В отличие от процессов – изменений физических величин только во времени, волновые явления разворачиваются как во времени, так и в пространстве. В этом случае говорят о волновых полях. В общем случае поле задается функцией многих переменных, одной из которых является время t, а остальные представляют собой пространственные координаты. В зависимости от характера рассматриваемой задачи поля могут быть одномерными, зависящими от одной координаты, двухмерными или трехмерными. Обозначив через r радиус-вектор точки в пространстве, можно задавать поле функцией F(r,t). Аналогично процессам, поля могут быть скалярными, векторными или тензорными. Поскольку, работая с полями, мы имеем дело с функциями нескольких переменных, математический аппарат волновых явлений базируется на использовании частных производных, и вместо обыкновенных дифференциальных уравнений мы будем оперировать дифференциальными уравнениями в частных производных. Основным объектом этого математического аппарата является волновое уравнение, к рассмотрению которого мы и переходим в данной главе. Здесь мы рассмотрим ряд явлений из различных областей физики, описание которых сводится к универсальной математической форме – волновому уравнению.

1.1. Поперечные волны в струне

Рассмотрим следующую модель. Имеется натянутая струна, закрепленная на концах и ориентированная в равновесном состоянии вдоль оси x двухмерной декартовой системы координат. В начальный момент времени некоторый участок струны имеет малое поперечное (вдоль оси y) отклонение от равновесного положения. Необходимо дать математическое описание динамики струны. Геометрия задачи изображена на рис. 1.1. Здесь, в существенно увеличенном по оси y масштабе, представлен отклоненный участок струны.

Рис. 1.1. К выводу уравнения волн в струне

На участке струны рассмотрим две близко расположенные точки М и М’, горизонтальные координаты которых разнесены на малое расстояние Δx. Проанализируем вертикальное движение участка струны ММ’, массу которого обозначим через m. Вертикальное ускорение этого участка обусловлено действием вертикальной силы. Если струна растянута с силой Т, в любой точке струны, действующей по касательной к струне, то, как можно видеть из рисунка, результирующая вертикальная сила равна разности y-проекций сил, приложенных к точкам М и М’. Поскольку модуль силы натяжения вдоль всей струны постоянен, действующая вертикальная составляющая силы натяжения может быть представлена в виде:

. (1.1)

Кроме того, учтем силу трения, действующую на элемент струны. Будем считать, что сопротивление трения пропорционально длине участка, пропорционально скорости и направлено против скорости. Если коэффициент пропорциональности равен a, то вертикальная сила трения будет записана следующим образом:

. (1.2)

Введем величину линейной плотности струны – массу, отнесенную к единице длины .

Уравнение вертикального движения участка (второй закон Ньютона) струны после элементарных преобразований можно записать в форме:

. (1.3)

Теперь воспользуемся тем, что отклонения струны от равновесного положения малы. При этом углы α и α’ также малы, а для малых углов

,¶ (1.4)

– по определению тангенс угла наклона касательной к кривой равен производной функции. Тогда уравнение (1.3) можно записать в виде:

(1.5)

Разность в скобках в первом слагаемом правой части (1.5) есть не что иное, как приращение производной при переходе от точки М к точке М’. Переходя к пределу Δx → 0, в этом слагаемом будем иметь вторую производную от y по x. Таким образом:

. (1.6)

Звуковые волны в газах

Рассмотрим постоянную массу газа, которая при давлении Р₀ занимает объем Vо, имея плотность ρ₀. Эти величины характеризуют равновесное состояние газа, которое нарушается, или возмущается, сжатиями и разрежениями звуковых волн. Под действием звуковых волн

давление Р₀ становится равным Р = Р₀ +p

объем V₀ становится равным V = V₀ + v,

плотность ρ₀ становится равной ρ = ρ₀ + ρ_d.

Избыточное давление p равно амплитуде давления звуковой волны, которое, будучи переменной компонентой, накладывается на равновесное давление газа Р₀.

Относительное изменение объема v/V = δ называется разрежением, а относительное изменение плотности ρ_d /ρ₀=s называется уплотнением. Для обычных звуковых волн величины δ и s равны приблизительно 10^-3, а давление р = 2 ·10^-5Н/м2 (порядка 10^-10 атмосферного) создает звуковую волну, еще слышимую на частоте 1 кГц. Таким образом, изменения в среде, вызываемые звуковыми волнами, чрезвычайно малы по порядку величины и соответствуют ограничениям, при которых применимо волновое уравнение.

Постоянная масса газа равна произведению

ρ₀V₀= ρV= ρ₀V₀(1+δ)(1+s)

отсюда (1+δ)(1+s)=1 и в линейном приближении получаем δ = -s. Упругость газа, или его сжимаемость, характеризуется модулем всестороннего сжатия

,

равным отношению изменения давления к относительному изменению объема. Поскольку увеличение объема происходит при уменьшении давления, в правой части формулы стоит знак минус.

Величина В зависит от того, являются ли изменения в газе, обусловленные волновым движением, адиабатическими или изотермическими. Они должны быть термодинамически обратимыми для того, чтобы исключить энергетические потери, связанные с диффузией, вязкостью и теплопроводностью. Если такие случайные процессы, приводящие к увеличению энтропии, полностью отсутствуют, то мы имеем адиабатический процесс — термодинамический цикл с к. п. д. 100% в том смысле, что не

теряется ни потенциальная, ни кинетическая энергия волны. В случае звуковой волны в силу таких термодинамических соображений ограничивается амплитуда избыточного давления. При очень большой амплитуде будет сильно повышаться локальная температура газа в области пика давления и энергия будет уходить из волновой системы за счет теплопроводности. Будут также возникать локальные градиенты скорости частиц, приводящие к диффузии и потерям энергии за счет вязкости. Взяв постоянное значение адиабатического модуля всестороннего сжатия, мы ограничили амплитуду колебаний в звуковой волне малыми значениями, поскольку полное давление Р = P₀+p считается постоянным.

Все адиабатические изменения в газе подчиняются соотношению PV^γ = const, где γ- отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и постоянном объеме. Дифференцируя это соотношение, получаем

V^γ dP + γPV^(γ-1) dV = 0,

или

-V(dP/dV)= γP=B_a (индекс а означает адиабатический процесс).

Следовательно, упругость газа характеризуется величиной γР, которую мы считаем постоянной. Поскольку Р = Р₀ + р, можно написать dP = p, где р — избыточное давление, и

B_a = - p/(v/V₀) или p= - B_a δ= B_a s.

Предположим, что в звуковой волне смещения и скорости частиц направлены по оси х. Смещение мы будем характеризовать координатой η. При выводе волнового уравнения мы рассмотрим движение элемента газа, имеющего бесконечно малую толщину dx и единичное поперечное сечение. Движение этого элемента под действием звуковой волны показано на рисунке.

Тонкий элемент газа с единичным поперечным сечением и толщиной dx, который под действием разности давлений -(dPx/dx)dx смещается на расстояние η и расширяется на величину (dη/dх).

Частицы в слое х смещаются на расстояние η, а частицы в слое х+dx смещаются на расстояние η+dη поэтому увеличение толщины, которым, очевидно, определяется увеличение объема элемента dx, имеющего единичное поперечное сечение, равно

и

величина называется деформацией.

Среда деформируется, потому что давления вдоль оси х с обеих сторон тонкого элемента не компенсируют друг друга. Полная сила, действующая на элемент, такова:

.

Ускорение элемента, имеющего массу ρ₀dx, в хорошем приближении равно . Поэтому, согласно закону Ньютона,

где .

Отсюда следует, что

.

Но есть отношение упругости к плотности являющейся мерой инерции среды и

, с – скорость звуковой волны, и следовательно мы получаем волновое уравнение

.

Аналогичное уравнение можно получить при использовании гидродинамического подхода – уравнений Эйлера, непрерывности и состояния вещества.

Волны в линиях передачи

Любую линию передачи можно упрощенно .представить в виде системы двух параллельных проводов, к одному концу которой присоединен генератор переменного тока. Если напряжение и ток на выходе генератора изменяются в фазе, то энергия непрерывно поступает в линию передачи и волны уносят энергию от генератора.

Токи, существующие в линии, создают магнитный поток, который пронизывает область между кабелями, так что линия характеризуется определенной погонной индуктивностью, которую мы обозначим через L₀. Провода линии образуют конденсатор, погонную емкость которого мы обозначим через С₀. Если активное сопротивление в линии отсутствует, то эти два параметра полностью характеризуют линию и линия называется идеальной или линией без потерь.

На рисунке изображен короткий элемент (с нулевым сопротивлением) идеальной линии передачи длиной dx<<λ, где λ - длина волны напряжения или тока. Индуктивность элемента равна L₀dx генри, а его емкость C₀dx фарад.

Если изменение напряжения по длине в любой заданный момент времени есть dV/dx, то напряжение на концах элемента dx равно (dV/dx)dx; в то же время это падение напряжения на индуктивности L, т.е. -(L₀dx)dI/dt. Следовательно,

Если изменение тока по длине в любой заданный момент времени есть dI/dx, то на длине dx часть тока -(dI/dx)dx теряется, поскольку ток заряжает емкость С₀dx линии до напряжения V. Если заряд q = (С₀dx)V, то

,

поэтому

или

.

Дифференцируя уравнение по t, а по x, получим уравнение для напряжения . Аналогично можно получить уравнение и для тока

. Видно, что эти уравнения являются волновыми уравнениями, скорость распространения волны есть , необходимо помнить, что L₀ и С₀ погонные индуктивность и емкость линии передачи.