- •Основные понятия теории колебаний
- •1. Волновое уравнение
- •1.1. Поперечные волны в струне
- •Электромагнитные волны в вакууме
- •Решения волнового уравнения Решение одномерного волнового уравнения
- •Стоячие и бегущие волны
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны
- •Дисперсия и групповая скорость Дисперсионное соотношение
- •Биения волн
- •Спектральный анализ
- •Волновые пакеты
- •Электромагнитные волны Электромагнитное поле в среде
- •Плоские электромагнитные волны
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Распространение электромагнитных волн в поглощающих средах
- •Энергия и поток энергии электромагнитного поля в веществе
- •Уравнения для электромагнитного поля в квазистационарном приближении
- •Дисперсия диэлектрической проницаемости
- •Связь между дисперсией и поглощением. Дисперсионные соотношения Крамерса – Кронига
- •Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках
- •Диэлектрическая проницаемость и распространение волн в средах со свободными зарядами
- •Диэлектрическая проницаемость плазмы в магнитном поле
- •Геликоны в проводниках
- •Электромагнитные волны в анизотропных средах
- •Приближение геометрической оптики
- •Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред
- •Прохождение электромагнитных волн через гиротропный диэлектрик
- •Волноводы Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и h-моды
- •Прямоугольные волноводы. Волны h-типа
- •Волны e-типа
- •Резонаторы
- •Нелинейные процессы. Нелинейная поляризация вещества
- •Нелинейная восприимчивость
- •Генерация гармоник
- •Самовоздействие света в нелинейной среде
Спектральный анализ
Данный параграф напрямую к теории волн отношения не имеет, но напоминание основных положений спектрального анализа представляется весьма целесообразным для понимания последующего материала. Периодическая функция времени F(t + T)=F(t), где Т – период, может быть представлена в виде разложения в ряд по гармоническим функциям:
. (10)
Здесь ω=2π/T. Формула (10) называется прямым преобразованием Фурье. Коэффициенты An и Bn, по сути дела, являются функциями от своих индексов и определяются формулами обратного преобразования Фурье:
(11)
Величина a может быть выбрана произвольно. Обратное преобразование Фурье вытекает из свойств ортогональности тригонометрических функций. Пусть, например, функция F(t)=sin(ωt). Ее период T=2π/ω. Выберем для a значение 0. Для Bn имеем:
. (12)
Функция синуса ортогональна функции косинуса для любых n. Таким образом, все коэффициенты Вn равны нулю.
Для An имеем:
. (13)
Здесь ненулевое значение (снова в силу ортогональности) будет иметь только коэффициент A1=1. Таким образом, как и должно было быть, в ряде (10) остается один единственный член – спектр сигнала состоит из единственной линии. Поскольку физически спектр показывает вклад в сигнал различных гармоник, сигнал, представляющий собой синусоиду, только ее и содержит. При переходе от периодической функции к непериодической, последнюю можно формально рассматривать все же как периодическую, но с бесконечно большим периодом T→∞. При этом, формально, ω→0. Интуитивно понятно, что от дискретного ряда в суммах типа (10) следует перейти к интегралу:
. (14)
Теперь формула прямого преобразования Фурье для непериодической функции будет выглядеть следующим образом:
. (15)
Обратное преобразование Фурье позволяет найти функции A(ω) и B(ω):
(16)
Разложение непериодической функции в спектр принято иллюстрировать примером прямоугольного импульса единичной амплитуды, длительностью δt. Допустим, импульс появился в момент времени t1. Тогда график процесса будет иметь вид, показанный на рис.
Функция, описывающая прямоугольный импульс, будет задаваться так, что F(t)=1 при t1≤t≤t1+δt и F(t)=0 в остальные моменты времени. Для упрощения рассмотрения перенесем начало отсчета времени в точку t1+δt/2. Тогда пределы интегрирования в (16), определяемые областью, где F(t) не равна нулю, будут составлять –δt/2 и +δt/2. Функция A(ω) задается интегралом:
. (17)
В силу нечетности функции синуса и симметричности относительно нуля пределов интегрирования последний интеграл равен нулю. Для функции B(ω) будем иметь следующее:
. (18)
Таким образом, спектр прямоугольного импульса содержит непрерывное распределение по всем частотам с функциями косинуса. График функции P(x)=sin(x)/x показан на рис.
В волновой физике наряду с прямоугольным импульсом в качестве модели сигнала широко используется так называемый гауссов импульс:
. (19)
Величина Δt задает характерную ширину (длительность) импульса. График функции (19) при Δt=1 показан на рис.
Обратные преобразования Фурье в данном случае дают:
. (20)
Как и в предыдущем примере, в силу нечетности функции синуса последнее выражение равно нулю A(ω)=0.
. (21)
Интеграл в (21) является табличным, и мы окончательно имеем:
. (22)
Здесь мы снова получили гауссову функцию, но уже от частоты ω. Собственно, гауссовский импульс тем и «знаменит», что он имеет гауссовский же спектр. Особо необходимо обратить внимание на то, что длительность сигнала во времени Δt и частотная ширина спектра обратно пропорциональны друг другу. Анализ спектра прямоугольного импульса приведет нас к такому же выводу. Правило является универсальным вне зависимости от формы импульса – чем короче импульс, тем шире его спектр и наоборот.
В данном разделе мы воспользовались разложением функции в ряды или интегралы как по синусам, так и по косинусам – разложения по квадратурным компонентам. Без особого труда можно было бы провести разложение, например, только по косинусам, внеся в аргумент тригонометрической функции фазу, зависящую от частоты. Тогда в формуле:
(23)
амплитуда , где А и В определяются соотношениями (16). Эта функция называется амплитудно-частотной характеристикой сигнала (АЧХ). Фаза называется фазово-частотной характеристикой (ФЧХ). Широко используется и комплексная форма спектрального анализа сигналов, в которой разложение представляется в виде:
. (24)
В этом случае квадратурные компоненты или амплитудные и фазовые характеристики должны быть получены из модуля и аргумента комплексной функции С(ω).