- •Основные понятия теории колебаний
- •1. Волновое уравнение
- •1.1. Поперечные волны в струне
- •Электромагнитные волны в вакууме
- •Решения волнового уравнения Решение одномерного волнового уравнения
- •Стоячие и бегущие волны
- •Плоские, сферические и цилиндрические волны
- •Дисперсия и групповая скорость Дисперсионное соотношение
- •Биения волн
- •Спектральный анализ
- •Волновые пакеты
- •Электромагнитные волны Электромагнитное поле в среде
- •Плоские электромагнитные волны
- •Поляризация электромагнитных волн
- •Распространение электромагнитных волн в поглощающих средах
- •Энергия и поток энергии электромагнитного поля в веществе
- •Уравнения для электромагнитного поля в квазистационарном приближении
- •Дисперсия диэлектрической проницаемости
- •Связь между дисперсией и поглощением. Дисперсионные соотношения Крамерса – Кронига
- •Дисперсия при распространении электромагнитных волн в диэлектриках
- •Диэлектрическая проницаемость и распространение волн в средах со свободными зарядами
- •Диэлектрическая проницаемость плазмы в магнитном поле
- •Геликоны в проводниках
- •Электромагнитные волны в анизотропных средах
- •Приближение геометрической оптики
- •Отражение и преломление объемных поперечных электромагнитных волн на границе раздела сред
- •Прохождение электромагнитных волн через гиротропный диэлектрик
- •Волноводы Выражение векторов поля через потенциальные функции. E- и h-моды
- •Прямоугольные волноводы. Волны h-типа
- •Волны e-типа
- •Резонаторы
- •Нелинейные процессы. Нелинейная поляризация вещества
- •Нелинейная восприимчивость
- •Генерация гармоник
- •Самовоздействие света в нелинейной среде
Биения волн
Напомним, что явление биений колебаний наблюдается при сложении двух гармонических процессов с близкими частотами и заключается в амплитудной низкочастотной модуляции суммарного высокочастотного колебания. Для рассмотрения явления биения волн вернемся к одномерной волновой задаче. Пусть вдоль оси x распространяются две однотипные волны с одинаковой (единичной) амплитудой и близкими частотами ω1 и ω2. Под словом «однотипные» мы будем понимать то, что волны имеют один и тот же закон дисперсии ω=ω(k) или наоборот k=k(ω) – дисперсионное уравнение может быть разрешено либо относительно частоты, как функция волнового числа, либо наоборот.
Считая, что каждая из волн задается выражением U(x, t)1,2 = cos(ω1,2t–k1,2x), суммарное колебание запишем в виде:
. (3)
Частоты волн близки по величине ω1 = ω2 + Δω, Δω<<ω1, ω2. Тогда дисперсионное уравнение k1=k(ω1)=k(ω2+Δω) можно разложить в ряд Тейлора по малой величине Δω, ограничившись линейным по смещению частоты членом:
. (4)
Введя обозначения k= (k1+k2)/2 и ω = (ω1+ω2)/2, можно переписать (3) в следующем виде:
. (5)
Теперь мы можем видеть, что суммарная волна представляет собой высокочастотную бегущую волну с частотой, равной полусумме частот складываемых волн и волновым числом, равным полусумме исходных волновых чисел. Амплитуда результирующей волны представляет собой также бегущую волну:
, (6)
где .
Рисунок ниже представляет собой «мгновенный снимок» волнового поля (5), как функцию U(x) в некоторый момент времени.
По сути дела, данный рисунок ничем не отличается от рисунка, иллюстрирующего биения колебаний, за исключением того, что там представлен график процесса во времени, а здесь показана функция координаты. Высокочастотная волна (несущая) распространяется с фазовой скоростью ω/k, в то время как огибающая амплитуды ведет себя иначе. Постоянное значение фазы огибающей определяется соотношением Δωt/2–Δkx/2=const. Нетрудно убедиться в том, что точка постоянного значения фазы огибающей перемещается со скоростью:
. (7)
Величина vг=∂ω/∂k называется групповой скоростью волн. Ее численное значение определяется взятием частной производной от функции ω(k), задаваемой законом дисперсии. Если рассматривать трехмерное пространство, то производную следует рассматривать как вектор . Так, в прямоугольной декартовой системе:
. (8)
Здесь i, j, k – единичные векторы, направленные вдоль осей x, y, z – соответственно.
Модуляция волны может формироваться не только и не столько в результате биений, но и многими другими способами. Так, радиопередатчик может модулировать несущую частоту по амплитуде при передаче голоса. Тем самым, амплитудная модуляция кодирует передаваемый сигнал. При этом и колебания и волны перестают быть строго гармоническими. Используя понятия спектра сигнала, можно говорить о том, что при модуляции несущей порождается целый спектр волн или колебаний – группа волн. Отсюда и происходит название групповой скорости. Еще раз подчеркнем, что с групповой скоростью распространяется именно огибающая амплитуды, закодированный сигнал. Во всех реальных ситуациях групповая скорость оказывается меньше скорости света (в отличие от фазовой скорости). Таким образом, никаких противоречий с теорией относительности не возникает – сигнал распространяется с досветовой скоростью.
Для линейного закона дисперсии ω=kc (где с – постоянная величина) значения групповой и фазовой скорости совпадают и равны с. Уточним, что это имеет место в средах без дисперсии. В плазме, как в диспергирующей среде, фазовая скорость ленгмюровских волн равна . Обратившись к закону дисперсии для плазменных волн , найдем групповую скорость:
. (9)
Интересно отметить и то, что произведение групповой скорости на фазовую дает как раз квадрат характерной скорости с2. Данная закономерность достаточно типична, однако, характерная скорость для каждой среды и волн в ней своя.