Геликоны в проводниках

Рассмотрим металл в высокочастотном поле. Раньше мы уже пришли к заключению, что переменное электромагнитное поле не может проникнуть в металл (за исключением скин-слоя у поверхности). Здесь мы покажем, что в присутствии сильного магнитного поля существуют электромагнитные волны, которые могут распространяться в металле без существенного затухания.

Напишем уравнения Максвелла для металла

, . (1)

Взяв rot от последнего уравнения и подставляя в первое, получаем

. (2)

Считая, что длина волны велика и электрическое поле медленно меняется в пространстве мы можем применить тензор проводимости для однородного электрического поля.

.

Будем искать решение уравнения (2) в виде плоской волны, пропорциональное . Из (2) находим

. (3)

Это однородная система уравнений. Она имеет решения, если детерминант обращается в нуль:

. (4)

Условие (4) и дает закон дисперсии (k).

Однако до того, как решать уравнение (4) надо знать тензор проводимости. Его получают из решения кинетического уравнения при учете магнитного поля. Получение тензора _ik достаточно сложная задача и мы на этом вопросе останавливаться не будем, а возьмем уже известный из книги А.С. Давыдова “Теория твердого тела”. Тензор _ik выведенный в предположении, что магнитное поле Н направлено по оси z имеет вид:

, (5)

где , , – циклотронная частота,  – среднее время между столкновениями электронов, _о – проводимость в отсутствии магнитного поля. Предполагая, что поле очень сильное и выполняется условие _н >> 1 мы получаем, что самые большие компоненты в тензоре проводимости это _zz, _xy, _yx, а остальные являются очень маленькими и ими можно пренебречь. Предполагая, что вектор k находится в плоскости (y, z), образуя угол  с осью , мы можем записать детерминант (4) в виде

. (6)

В соответствии с (5) _zz самая большая компонента _zz >> _xy,_yx. Если предположить, что

, то из (6) получается

.

Подставляя и k_z= k cos находим

. (7)

Видно, что  пропорциональна Н и . Волна может распространяться под любым углом к H, кроме  = /2. Волны такого типа называются геликонами.

Посмотрим, как меняется электрическое поле в такой волне. Из последнего уравнения (3) мы видим, что из-за большой величины _zz по сравнению с другими компонентами _ik компонента E_z << E_x , E_y .

Переходя теперь к первому из уравнений (3), получаем

,

подставляя сюда (7) находим

. (8)

Это эллиптически поляризованная волна. Если  = 0, то мы имеем E_x = iE_y. Такая волна поляризована по кругу.

Электромагнитные волны в анизотропных средах

Рассмотрим теперь электромагнитные волны в прозрачных анизотропных диэлектриках. В анизотропной среде вместо уравнения связи имеем

(9)

где в общем случае тензор _ik – комплексный. Можно показать, что условие прозрачности вещества, т.е.

, (10)

сводится к требованию вещественности тензора диэлектрической проницаемости. Поэтому ниже тензор _ik считается вещественным.

Из уравнений Максвелла получим

, (11)

(12)

Таким образом, векторы k, D, H образуют тройку взаимно ортогональных векторов, но так как при наличии связи (9) направления D и E в общем случае не совпадают, то векторы k и H не взаимно ортогональны. Следовательно, направление вектора Пойтинга S, ортогонального плоскости E, H, не совпадает с направлением k, и угол между векторами k и S равен углу между векторами D и E (рис.).

Для установления связи между частотой и волновым вектором k введем обозначение

. (13)

Используя (13) из (11) получаем

, (14)

откуда, используя уравнение связи (9), приходим к системе трех однородных уравнений для компонент вектора E

.

Как известно, система однородных алгебраических уравнений имеет нетривиальное решение только если

. (15)

Уравнение (15) и определяет связь частоты с волновым вектором. Оно определяет модуль вектора n при заданном его направлении по отношению к фиксированным осям, например главным осям тензора . Это алгебраическое уравнение относительно n², старшие члены которого есть (член при сокращается). Следовательно, в общем случае есть два решения, отвечающие двум независимым поляризациям электромагнитной волны. Так как модуль n играет роль показателя преломления среды, то в кристалле в данном направлении могут распространяться два типа волн, каждому из которых соответствуют свой показатель преломления среды и своя поляризация. Отметим, что в общем случае показатель преломления зависит от направления распространения волны.

Рассмотрим для примера одноосный кристалл, тензор диэлектрической проницаемости которого в главных осях определяется двумя величинами

, . (16)

Из уравнения (15), записанного в главных осях тензора , имеем

. (17)

Отсюда непосредственно видно, что в одноосном кристалле могут распространяться два типа волн. Для одного из них показатель преломления не зависит от направления распространения волны и равен

. (18)

Такие волны называются обыкновенными. Для волн второго типа показатель преломления зависит от направления распространения волны. Вводя угол  между осью кристалла и направлением распространения волны, из (17) получаем, приравнивая нулю выражение в квадратных скобках

. (19)

Такие волны называются необыкновенными. Отметим, что при распространении вдоль оптической оси (=0) показатели преломления для обеих волн одинаковы.