Нелинейные процессы. Нелинейная поляризация вещества

В предыдущих параграфах рассмотрены явления в веществах при условии линейной связи между напряженностью электромагнитного поля и дипольного момента вещества. То есть предполагалось, что отношение между полем E и напряженностью характерного внутреннего поля Е_ат мало:

Е / Еат << 1

(1)

При таком подходе предполагается, что нелинейная часть плотности дипольного момента среды мала по сравнению с линейной, поэтому учитывать ее нужно лишь тогда, когда она приводит к качественно новым эффектам. Бурное развитие нелинейной электродинамики, в частности оптики, началось только в 60-х годах ХХ века после появления лазеров, излучение которых используется для исследования свойств различных веществ.

Обратимся теперь к выводу выражений линейной и нелинейных восприимчивостей.

Рассмотрим движение упруго связанного электрона в переменном электрическом поле E(t) = E₀ e^it, его уравнение движения есть

,

(2)

где m – масса электрона,  - коэффициент затухания, ₀ – круговая частота (или собственная частота), е – заряд электрона.

В установившемся режиме x(t) является гармонической функцией с той же частотой , что и поле Е и решение уравнения (2) получается в виде

.

(3)

Дипольный момент атома, электрон которого сместился из положения равновесия на х, равен

,

(4)

а изменяющаяся во времени поляризация вещества равна

,

(5)

где N – концентрация электронов. Поляризация связана с напряженностью электрического поля, как P = E, где -восприимчивость. Откуда

.

(6)

Формула (6) справедлива для вещества, содержащего атомы (молекулы) одного сорта и в изотропном случае. В случае больших отклонений x от положения равновесия, колебания становятся нелинейными, и следует учитывать нелинейные члены в силе, действующей на электрон со стороны атома (молекулы). Такие колебания называются ангармоническими. Если нелинейность колебаний проявляется за счет квадратичного члена по х, то уравнение движения будет иметь вид

,

(7)

где  - коэффициент ангармонизма. Поскольку величина х² мала, решать уравнение (7) следует методом возмущений. Представим искомое решение в виде ряда

,

(8)

где х₁, х₂, … - малые величины порядка , ², … относительно х₀. Подставив (8) в (7) и приравняв между собой члены одинакового порядка по , получим уравнения

,	(9)
,	(10)
……………………,

где точками обозначены уравнения для х₂, х₃, …, которые пока не рассматриваются.

В линейном случае Р=Е рассматривалась одна волна частотой , поскольку добавление волны другой частоты ничего не добавляло к картине образования поляризации вещества: поляризация от двух волн равна сумме поляризации от каждой из волн. При учете нелинейности ситуация меняется. Из (9) ясно, что х₀ выражается линейно через Е формула (3), а из (10) следует, что х₁ зависит от х₀² и, следовательно, от Е². Если Е выражается в виде суммы напряженностей полей с различными частотами, то х₁ зависит от попарных произведений этих напряженностей, т.е. является квадратичной функцией напряженностей. При учете (8) поляризация будет записываться как

	(11)
,	(12)

- линейная и квадратичная нелинейная поляризации.

Если решать уравнения, обозначенные после (10) точками, то для х₂ получим решение, зависящее от Е³, приводящее к поляризованности Р_н⁽³⁾, пропорциональной Е³, и т.д. Символически этот результат запишется в виде

(13)

поляризация представляется суммой членов, зависящих линейно, квадратично, кубично и т.д. от напряженности электрического поля.