Прямоугольные волноводы. Волны h-типа

Для H-волн в прямоугольном волноводе (рис. 2) имеет место уравнение

при условии на границах ∂ψ/∂n = 0.

Решение найдем по методу Фурье в виде произведения

Тогда уравнение может быть представлено в виде

и переменные разделяются, т. е. уравнение распадается на два:

Полученные уравнения имеют решения

На границах имеем при x = 0 dX/dx = 0, откуда следует, что

при y = 0 dY/dy = 0, откуда следует, что

при x = a dX/dx = 0, т.е. sing_xa = 0, откуда

при y = b dY/dy = 0, т.е. sing_yb = 0, откуда

Теперь находим ψ(x,y):

с точностью до произвольного множителя. Собственные значения равны

Заметим, что индексы n и m не могут одновременно обращаться в нуль, так как в этом случае ψ = const и все компоненты поля обращаются в нуль.

Отсюда могут быть найдены критические длины волн (для вакуума):

т.е. критическая длина волны определяется размерами волновода и номером моды. После того как найдена функция ψ(x,y), можно найти все составляющие поля (без экспоненты ):

В дальнейшем для определенности будем предполагать, что a> b. Рассмотрим структуру полей различных мод. Прежде всего, еще раз напомним, что n и m не могут одновременно принимать нулевые значения. Но одно из этих чисел может быть равно нулю. Нетрудно видеть, что если a>b, то наибольшую критическую волну имеет мода H₁₀ (n=1, m=0):

Моду с наибольшей критической волной называют основной для данного волновода. Существует диапазон частот, в котором в данном волноводе может распространяться только основная мода, в отличие от высших мод. Моде H₁₀ соответствуют следующие значения составляющих полей:

Поля здесь определены с точностью до множителя, одинакового для всех компонент. Этот множитель определяется, если задана мощность волны, распространяющейся по волноводу. Структура волны H₁₀ может быть выяснена с помощью графиков (рис. 3):

Для уяснения структуры поля следует также учитывать, что H_z и H_x сдвинуты во времени по фазе на 90^o. Картина силовых линий магнитного поля представлена на рис. 4.

Структура поля моды H_n0 может быть получена путем n-кратного повторения структуры моды H₁₀ в направлении оси x. Моды типа H_n0 характерны тем, что поле не зависит от координаты y. Кроме того, критическая длина волны и, следовательно, длина волны в волноводе не зависят от высоты волновода b:

В технике наибольшее применение нашли прямоугольные волноводы с волной H₁₀. При этом размеры их обычно выбираются так, чтобы в рабочем диапазоне частот высшие моды не могли распространяться. Рассмотрим теперь структуру волны H₁₁. В этом случае составляющие поля зависят также от y (рис. 5). Структура поля здесь более сложна, так как отличны от нуля все составляющие, кроме E_z.

Структура полей типа Hnm может быть получена путем n-кратного повторения структуры H₁₁ в направлении x и m-кратного повторения в направлении y. Имеет смысл рассмотреть также токи в стенках. Плотность тока в стенках может быть найдена из граничного условия

n - единичный вектор нормали, направленный в металл. Это значит, что поверхностная плотность тока численно равна тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля и направлена перпендикулярно магнитному полю, поэтому линии тока в стенках могут быть построены как линии, ортогональные семейству линий магнитного поля на поверхности волновода.

Вначале построим линии тока для волны H₁₀ (рис. 6). Для волны H₁₁ линии тока на широкой и узкой стенках аналогичны линиям тока на широкой стенке для волны H₁₀. Линии тока для волн H_nm получаются путем повторения картины, полученной для волны H₁₁, n и m раз на различных стенках. Вычислим также мощность, распространяющуюся через волновод с волной H₁₀. Это позволит найти нормирующий множитель. Мощность определяется потоком вектора Пойтинга через сечение волновода:

Для моды H₁₀ отличны от нуля лишь E_y и H_x:

Подставляя E_y и H_x под интеграл, получаем

откуда может быть определен нормирующий множитель:

Мощность может быть выражена также через напряженность электрического поля в центре волновода E₀