1. Равновесная кристаллизация (рис. 40,а).

При равновесной кристаллизации составы твердой и жидкой фаз в любой момент времени должны определяться диаграммой состояния, а, следовательно, градиенты концентраций в любой из фаз в каждый момент времени отсутствуют. Значит, скорость кристаллизации должна быть настолько мала, чтобы успевала протекать выравнивающая диффузия в обеих фазах. По мере роста кристалла составы фаз будут в каждый момент времени определяться «правилом рычага»:

, (39)

где С₀ – начальная концентрация примеси в расплаве.

Исходя из вышеизложенного, после того, как расплав полностью закристаллизуется, концентрация примеси в нем примет значение С₀. Следовательно, добиться в кристалле концентрации отличной от С₀ можно лишь тогда, когда в какой-то момент времени из системы будет удалена одна из фаз.

2. Неравновесная кристаллизация (рис. 40,б).

Распределение примеси по слитку, полученному в процессе направленной кристаллизации, выведем в рамках допущения Пфанна:

1. Диффузия примеси в твердой фазе пренебрежимо мала (D_тв. = 0),

2. Вне диффузионной области концентрация примеси в жидкой фазе постоянна (вне диффузионной области D_ж. = ).

3. Объемные изменения при кристаллизации примеси отсутствуют.

4. Изменением состава жидкой фазы за счет взаимодействия с внешней средой можно пренебречь.

5. Коэффициент распределения примеси – величина постоянная.

Допустим, что:

• 

• – общее количество примеси в расплаве в начальный момент времени ;

• – общее количество примеси в расплаве в момент времени ;

• – исходная постоянная концентрация примеси в расплаве;

• – концентрация примеси в кристалле на границе с расплавом.

В процессе роста кристалла объем и доля закристаллизовавшейся части расплава изменяются в пределах , соответственно. Тогда:

За время доля объема расплава изменяется на , общее количество примеси в расплаве изменяется на а, следовательно, текущее значение концентрации в твердой фазе составит (перенос вещества из жидкой фазы в твердую и движение фронта кристаллизации происходит в противоположных направлениях). Тогда, приравнивая , получим:

или . (40)

Проинтегрируем выражение(40):

(41)

После интегрирования получим:

или (42)

Потенцируя выражение (42) получим решение:

(43)

Выразим полученную зависимость через концентрации, предполагая постоянство поперечного сечения слитка по длине:

(44)

и т.к. , окончательно получим:

. (45)

Рис. 43. Распределение примеси по длине кристалла при различных значениях , полученное в результате направленной кристаллизации.

Уравнение (45) справедливо для объемных концентраций с учетом третьего допущения Пфанна, а так же для концентраций выраженных в мольных долях. Без учета третьего допущения Пфанна для объемных концентраций уравнение принимает вид:

, (46)

где _ж. и _тв. – плотности жидкой и твердой фаз, соответственно.

Как показано на рис. 43, чем больше отличается от единицы, тем больше неоднородность распределения примеси по длине кристалла.

При ,

а при (знак определяется величиной .)

Неоднородность распределения примеси можно использовать как для очистки полупроводникового материала, так и для получения более однородного распределения примеси о чем мы поговорим ниже.

При нарушении второго и четвертого приближений Пфанна распределение будет отличаться от приведенного концентрационного профиля, приведенного на рис. 43.

Принципиальным недостатком метода является его однократность. Для того чтобы очистить кристалл более чем в раз необходимо удалить загрязненную часть слитка и снова провести направленную кристаллизацию.