4.2. Эффективный коэффициент распределения

При кристаллизации из расплава в предположении, что масса кристалла существенно меньше массы расплава, при бесконечно малых скоростях кристаллизации распределение примеси в системе определяется и показано на рис. 40,а.

Однако при конечных скоростях кристаллизации в зависимости от значения в жидкой фазе, примыкающей к фронту кристаллизации, образуется либо обогащенный, либо обедненный примесью слой. Тогда на границе раздела фаз распределение примеси будет определяться эффективным коэффициентом распределения =С_тв./С_ж., отличным от =С_тв./С_ж.(0) (рис. 40, б).

Рис. 40. Распределение примеси на границе раздела твердой и жидкой фаз (здесь и далее масштаб на оси концентраций (С) логарифмический): а – при равновесной кристаллизации; б – при кристаллизации в неравновесных условиях.

Если предположить, что массоперенос между приграничным к фронту кристаллизации слоем и остальным расплавом определяется по диффузионному механизму, то может быть определена толщина диффузионного слоя  как отрезок, отсекаемый на оси абсцисс касательной к распределению примеси С_ж.(х) в т. х = 0 (еще раз подчеркиваем: масштаб на оси С логарифмический). Для выращивания по методу Чохральского эмпирически установлено выражение для определения величины :

,

где – коэффициент диффузии в жидкой фазе,  – кинематическая вязкость расплава,  – сумма угловых скоростей вращения затравки и тигля.

Установим взаимосвязь между и , считая, для определенности, что . При стационарном установившемся режиме поток примеси из твердой фазы в диффузионный слой должен быть равен потоку примеси из диффузионного слоя в расплав.

Математически такая задача описывается дифференциальным уравнением массообмена в движущейся среде. В одномерном случае в стационарном режиме (dC/d = 0) оно приобретает вид:

, (37)

где w – скорость движения расплава, D – коэффициент диффузии в жидкой фазе.

Предположив, что в пределах диффузионного слоя  скорость движения расплава w = –f, где f – скорость роста кристалла решим уравнение при граничных условиях:

при х = 0

при х =  . (38)

Решение уравнения (37) с учетом граничных условий в точке х = 0 будет:

. (39)

Выражая концентрации через коэффициенты распределения, получим уравнение, известное как уравнение Бартона-Прима-Слихтера:

. (38)

Выражение называют также приведенной скоростью роста и обозначают как . На рис. 41 показана зависимость от  при различных значениях .

Рис. 41. Зависимость эффективного коэффициента распределения от приведенной скорости роста.

4.3. Особенности распределения примеси по длине кристалла, получаемого из расплава

4.3.1. Направленная кристаллизация

Рассмотрим кристаллизацию протяженного расплава, имеющего форму цилиндра, затвердевающего с левого края (рис. 42.) при которой фронт кристаллизации движется вправо со скоростью f.

Рис. 42. Схема затвердевания расплава при направленной кристаллизации.

Допустим, что различием в плотностях жидкой и твердой фаз можно пренебречь. Примем, что – общий объем расплава, а - объем закристаллизовавшейся его части к моменту времени . Обозначим долю расплава, закристаллизовавшуюся к моменту времени , через .

Рассмотрим два варианта проведения процесса.