§2 «Полезные» функции

1. у=х у=

у

х

2. у=кх-а+b ( порядок построения графика)

• при к>0 , при к0

• ось симметрии х=а

• вершина (узел) ломаной (a;b)

• корни: kx-a=-b x-a=-

• при к>0min y(a)=b; при k0 max y(a)=b

• y(0)=ka+b

Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.

у=2х+1-3

• к=2>0 

• ось симметрии х=-1

• вершина ломаной (-1;-3)

• корни: у=02х+1-3=02х+1=3х+1=



x

y

-2,5

• у(0)=-1

  0,5

  -1

• min y(-1)=-3

  -1

-3

Пример 2

Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.

y

4

y=4-2x+1  y=4-2x+0,5

• k=-20 

• ось симметрии х=-0,5

  x

• вершина ломаной (-0,5;4)

  -2,5

• корни: у=02х+1=4

  -0,5

  1,5

• у(0)=3

• max y(-0,5)=4

3. «корыто» y=x-a+x+b

A

B

C

D

Пусть b>a

a

b

a-1

b+1

В точках А и В имеем узлы ломаной.

у(а)=а-b=𝛂 A(a;𝛂)

v(b)=b-a=𝛂 B(b;𝛂)

Дополнительные точки:

y(a-1)=1+a-1-b=𝛃; C(a-1;𝛃)

y(b+1)=b+1-a+1=1+a-1-b=𝛃; D(b+1;𝛃)

График этой функции имеет следующий характерный вид.

y

A

B

C

D

b-a

a

b

x

Если раскрыть знак модуля, то получим следующее аналитическое задание функции: у=

4. «ступенька» у=x-a-x-b

Можно провести исследования , аналогичные предыдущей функции и получим следующие характерные графики:

y

ba

b

a

x₀=

a-b

b-a

x

Обратите внимание!

y=0x=; y>0x; y0 x>

y

b>a

b

x

a-b

b-a

a

x₀=

y=0x=

y>0x>

y0x

Пример 3

Решить уравнение.

+ =4

Решение:

О.Д.З.: х4

 

Пусть t=; t0 t+2+t-2=4

Покажем графическое решение этого уравнения.

Строим графики этих функций на одном чертеже и находим решение системы

у

4

t

0

-2

2

Решение системы:0≤t≤2 0≤ 0≤x-4≤4 4≤x≤8.

Ответ: х[4;8]

Пример 4.

Решить уравнение.

Решение:

 

Пусть =t; t0  t+1-t-5=6

Покажем графическое решение этого уравнения.

; у(-1)=-6; у(5)=6

у

-1

6

t

5

Решение системы: t5 x+225  x23

Ответ: х[23;+∞)

5.y=x-a-b (W)

Ось симметрии х=а.

Если b>0, то у=0х-а=b ( корни функции)

y

max y(a)=b

a

x

b

a-b

a+b

Пример 5.

Сколько решений имеет уравнение в зависимости от параметра «а»

х+1-2=х+а.

Решение:

Покажем графическое решение примера.

Рассмотрим систему:

у=х-1, а=-1

у

-3

-1

2

у=х+а,а-1

у=х+а,-1а3

у=х+3,а=3

у=х+а, а>3

1

х

Ответ: при а-1∅,

при бесконечно много решений

приединственное

решение