Решение:

Данная функция f: y=2x+5

1. D(f)=R

2. E(f)=R

3. строго возрастает на всей области определения

4. непрерывна

Существует обратная функция

5)f^-1: x=0,5y-2,5

6)xy y=0,5x-2,5обратная функция.

7)D(f^-1)=E(f)=R

8)E(f^-1)=D(f)=R

у

9)непрерывна

f

10)возрастает

5

f^-1

y=x

5

х

Композиция (произведение ) отображений в терминах функции называется сложной функцией.

Пусть: y=f(x); y=g(x), тогда y=f(g(x)) сложная функция.

[f(g(x))≠g(f(x))].

Рассмотрим следующий пример:

f(x)=x-1; g(x)=1/5(x+3).

Найти:

1. f(g(x))

2. g(f(x))

Решение:

а) f(g(x))=f(=  .

b) g(f(x))=g(x-1)=

§2 Решение примеров.

Пример 1

По графикам функций, изображённых на рисунках, определите виды отображений.

4

A=[-2;5]

B=[-2;4]

f: AB

а)

-2

-2

5

A=[-2;+∞)

B=(-∞;+∞)

f:AB

b)

-1

-2

c)

-2

5

A=[-2;+∞)

B=(0;5]

f:AB

Решение:

а) f(A)=B сюръекция (биекции нет, т.к. функция не является строго монотонной)

b) f(A)≠B,но при этом функция строго возрастает инъекция.

с) f(A)=B; функция строго убывает  биекция

Пример 2(творческое задание).

Придумайте графики функций как отображение f: AB так, чтобы получить различные виды отображений.

Глава 5.Числовые функции и их свойства.

§1 Определение числовой функции. Основные свойства.

Как уже рассматривалось в предыдущей главе, числовую функцию можно определить, как отображение двух числовых множеств:

f: XY; (X;Y;f) ;XR;YR.

Существуют различные способы задания функции:

1. Табличный

2. Аналитический

3. Графический

При исследовании функции и для построения графика функции необходимо изучить основные свойства.

1.Область определения функции D(f)

Область определения функции это множество допустимых значений аргумента.

При нахождении области определения функции помните, что нельзя:

1) делить на ноль

2) извлекать корень чётной степени из отрицательного числа

3) вычислять логарифмы неположительных чисел

4) вычислять арксинус и арккосинус чисел по модулю больших единицы.

2.Множество значений функции.

Если X=D(f)область определения функции f, то f(X)=E(f)множество всех значений функции.

E(f)={y y=f(x); xD(f)}

Примечание: В некоторых случаях множество значений функции легко определить по построенному графику.

3.Множество корней функции.

Число 𝛂D(f) называется корнем функции y=f(x) , если f(𝛂)=0.

Для нахождения корней функции необходимо решить уравнение:

f(x)=0.(точки пересечения графика с осью абсцисс)

При этом множество корней может быть различным, а именно:

1. конечным

2. бесконечным счётным

3. бесконечным несчётным

4. пустым.

Заметим, что полезно найти так же точку пересечения с осью ординат f(0)

4.Чётностьнечётность функции.

Если ∀хD(f)f(-x)=f(x), то функция чётная.

Если ∀хD(f)f(-x)=-f(x), то функция нечётная.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечётной функции симметричен относительно начала .координат.

5.Промежутки монотонности и экстремумы.

Функция y=f(x) на интервале (𝛂;𝛃)D(f):

1. возрастает, если из условия х₁>х₂f(x₁)>f(x₂₎

2. убывает, если из условия х₁>х₂f(x₁)f(x₂₎

3. не возрастает, если из условия х₁>х₂f(x₁)≤f(x₂₎

4. не убывает, если из условия х₁>х₂f(x₁)f(x₂₎

для всех х₁ и х₂ из интервала (𝛂;𝛃).

6.Экстремумы (минимумы и максимумы)

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀D(f))

f(x)>f(x₀), то х₀ точка минимума, а f(x₀)минимальное значение.

Если в некоторой окрестности точки х₀ (х₀D(f))

f(x)f(x₀), то х₀ точка максимума, а f(x₀) максимальное значение.

Можно использовать различные виды записи:

min у_x=x0=f(x₀) или min y(x₀)=f(x₀)

max у_x=x0=f(x₀) или max y(x₀)=f(x₀)

Заметим, что это определение локальных экстремумов и на множестве определения функция может иметь конечное или даже бесконечное (например, тригонометрические функции) число экстремумов.

Обратите внимание!

В формулировках задач может быть вопрос:

Найдите наибольшее (наименьшее) значение функции.

Эти значения выбираются из экстремальных и значений функции на границах области определения функции.

7.Периодические функции.

Функции, которые имеют период, называются периодическими. (этот вопрос подробно рассмотрен в главе 8)

8.Асимптоты

а) Вертикальные асимптоты.

Прямая х=а называется вертикальной асимптотой, если при неограниченном приближении ха (слева или справа) значения функции

у

+∞

(-∞)

f(x)

а

х

2. Наклонная асимптота.

Прямая у=кх+b называется наклонной асимптотой, если

при х+∞ ветви графика неограниченно

(-∞)

приближаются к прямой у=кх+b, т.е. если y=f(x), то

у

f(x)- (кх+b)0

x+∞

(x-∞)

у=кх+b

х

В частности, если к=0, то прямая у=b называется горизонтальной асимптотой.

у

х