- •Оглавление
- •§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526
- •§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634
- •§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213
- •Глава 1. Числовые множества.
- •§1 Основные понятия.
- •2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
- •§2 Решение задач.
- •Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.
- •§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.
- •Пример 3 Решить уравнения:
- •Решения:
- •§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.
- •Пример 1 Решить следующие неравенства:
- •Глава 3. Элементы теории множеств.
- •§1Основные понятия.
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.
- •§1 Основные понятия и определения.
- •1.Отображение множества а в множество в (общий случай).
- •2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)
- •Решение:
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 5.Числовые функции и их свойства.
- •§1 Определение числовой функции. Основные свойства.
- •§2 «Полезные» функции
- •Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.
- •Пример 2
- •§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.
- •Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
- •§1.Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
- •§2.Уравнение окружности.
- •§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
- •§4. Множества на плоскости.
- •Задача 2.
- •Решение:
- •Задача 3 (самостоятельно)
- •Глава 7. Элементарные функции.
- •§1 Линейная функция.
- •§2 Обратная пропорциональная зависимость.
- •Чётностьнечётность.
- •Промежутки монотонности
- •6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.
- •1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)
- •2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).
- •Область определения функции:
- •Чётностьнечётность.
- •Чётностьнечётность.
- •§3 Дробнолинейная функция
- •5.Экстремумов нет.
- •4. F(X)≠функция общего вида
- •6.Экстремумов нет.
- •Область определения функции:
- •3): У≠0 корней нет.
- •§4 Степенная функция.
- •На интервале (-∞;0) функция убывает
- •На интервале (-∞;0) функция убывает,
- •§5. Квадратичная функция.
- •Пример 1.
- •Решение:
- •Пример 3.
- •Решение:
- •Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:
- •Пример 6 (самостоятельно).
- •Пример 7.
- •Решение:
- •§6.Показательная функция.
- •Корней нет, т.К. У≠0.
- •Функция общего вида.
- •Экстремумов нет.
- •Нет корней, т.К. У≠0.
- •Функция чётная .
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •§7. Логарифмическая функция.
- •Полезные формулы.
- •Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
- •§8.Сложная функция.
- •1)Если обе функции f и g возрастают,
- •2)Если обе функции f и g убывают,
- •3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
- •4) Общего вида.
- •Общего вида.
- •4)Чётная функция.
- •§9.Обратные функции.
- •4.Функция непрерывная и строго возрастает
- •5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.
- •Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
- •§1.Периодические функции и их свойства.
- •§2.Определение тригонометрических функций.
- •Экстремумов нет.
- •Экстремумов нет.
- •3.Убывает и непрерывна. -1
- •2.Множество значений функции: (-.
- •3.Убывает и непрерывна.
- •2.Множество значений функции:(0;π);
- •4.Функция общего вида.
- •§11.Решение примеров.
- •Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
- •Пример16. Найти периоды данных функций.
- •Решение:
2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
=е
Обозначим множество иррациональных чисел .
5
Множество вещественных чисел.
Множество вещественных чисел это объединение множества рациональных и иррациональных чисел.
R=Q; Q=; NZQR.
N
Z
Q
R
§2 Решение задач.
Пример 1
Найти все натуральные решения неравенства:
-
x2-5x+6≤0.
-
.(x-4)0.
Решение.
-
+
+
-
x2-5x+6≤0(x-2).(x-3)≤0.
2
3
Ответ:{2; 3}
-
.(x-4)0.
Ответ: {4; 5}
Пример 2
Дано: A={xN x2-5x+4≤ 0}; B={xZ ≤2}.
Найти:1) С=АD=A.
Решение.
+
x2-5x+4≤ 0(x-4).(x-1)≤ 0
-
1
4
+
A={1;2;3;4}.
≤20≤ x≤ 4
{0; 1; 2; 3; 4}
С=В{0; 1; 2; 3; 4} ;D=A={1;2;3;4}.
Дано: А={xZ ≤ 0}; B={xN ≤0}.
Найти: 1) С=АD=A
Решение
-1 2 6 7
A={0;1;2;6}
≤0 X3-8=0 X=2
B={2}, Ответ: С=А={0;1;2;6}; D=B={2}.
Пример 4
После деления некоторого двузначного числа на сумму цифр в частном получается 7 и в остатке 6 . После деления этого числа на произведение его цифр в частном получается 3 и в остатке 11. Найдите это двузначное число.
Решение
Двузначное число обозначим =10х+у.
О.Д.З. х{1;2;3;4;5;6;7;8;9}; y{1;2;3;4;5;6;7;8;9}
По условию: .
Ответ: 83
Полезная информация
Если уравнение с целыми коэффициентами имеет корень, то его можно найти , используя следующую теорему.
Теорема
Если уравнение
a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0, в котором все коэффициенты целые числа, причём свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.
Пример 5
Решить уравнение:
636х2+635х-1=0.
Решение:
Если уравнение имеет целый корень, то он является делителем числа
-1, т.е. равен 1 или -1. Проверка показывает, что х1=-1.
По формулам Виета имеем: х1*х2=- х2=.
Ответ:{-1; }
Пример 6
При каких значениях параметра «а» число является корнем уравнения х4-2х2+3а=0?
Решение:
Пусть х2=tt2-2t+3a=0. По формулам Виета:
Если х= корень уравнения, то t1=x2=2- t2=2-t1
a=-1.
Ответ: a=-1.
Следующие примеры решите самостоятельно.
Пример 7
Найти все натуральные решения неравенств:
-
–х4+8х2+9> 0;
-
0.
Ответ: 1){1;2}; 2) {1;2}
Пример 8
Дано: A={xN x2-7x-8≤ 0}; B={xZ ≤3}
Найти: 1) С=А 2)D=A.
Ответ: С={-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8}; D={1;2;3;4;5;6}.
Пример 9
Дано: A={xZ ≤ 0}; B={xN }.
Найти: 1) С=А 2)D=A.
Ответ: С={-1;0;1;7;8;9;10}; D={-1;1}
Пример 10
Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то получится в частном 4 и в остатке 3. Если это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 3 и в остатке 5.
Найдите это двузначное число.
Ответ: 23
Пример 11
Решить уравнения:
-
2002х2-2001х-1=0;
57х2-101х-26=0.
Ответ:1) {1;-};2) {2;-}.
Пример 12
При каких значениях параметра «а» число является корнем уравнения: х4-6х2+4а2=0?
Ответ:а=-1;а=1.