§2 Обратная пропорциональная зависимость.

Функция вида: у= ; к≠0

называется обратной пропорциональной зависимостью.

Проведём исследование этой функции.

1. Область определения функции:D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞)

Прямая х=0 вертикальная асимптота, т.к.

=±∞

2. Множество значений функции: E(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

Прямая У=0 горизонтальная асимптота, т.к.

4. Чётностьнечётность.

f(-x)=-f(x)функция нечётная (график симметричен относительно начала координат)

4. Промежутки монотонности

при к>0 функция убывает, т.к.

если х₁>х₂>0к 0f(x₁)f(x₂)

при к0 функция возрастает (доказательство проведите сами)

6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.

Графиком этой функции является гипербола.

к>0

к0

у

у

х

х

Для выполнения следующего задания повторите теоретический материал о преобразованиях графиков функций.

Пример1.

Выполнить следующие преобразования графика функции

у=

1. у=

2. у=-2;

Решение:

Построим график исходной функции по точкам

Х	0.5	1	2
У=	4	2	1

х

у

у=

1. у= Сохраняем ветвь гиперболы в первой четверти и строим симметричную ветвь относительно оси ординат . (Функция чётная).

   у

   у=

х

2. у=-2;Используем построенный выше график, но теперь будем двигать оси координат для получения новой системы координат, а именно:

1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)

2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).

Проверьте, чтобы в новой системе координат точка начала координат в старой системе имела координаты (1;-2).

у

у=

х

1

-2

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

у=

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1. у=

2. у=

3. у=

4. у=

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование.

у

1

-2

0

2

-3

3

Исследование:

1. Область определения функции:

D(f)=(-∞;-2)∪(-2;2)∪(2;+∞)

Прямые х=-2 и х=2  вертикальные асимптоты.

2. Множество значений функции: E(f)=[0+∞);

прямая у=1 горизонтальная асимптота

: у=0

х-2=1х=3

,5

4. Чётностьнечётность.

f(-x)=f(x)функция чётная (график симметричен относительно оси ординат))

4. Экстремумы: min y(±3)=0; min y(0)=1,5

Пример 2.

Построить график функции и провести исследование.

y=

Решение:

Сначала построим график данной функции, используя метод преобразования графиков в следующем порядке:

1. у=

2. у=

3. у=

4. y=

На рисунке показана схема полученного графика.

Далее, используя график, можно продолжить исследование

х

у

х=1

у=2

-1

3

Проведём исследование этой функции.

1. Область определения функции:D(f)=(-∞;1)∪(1;+∞)

Прямая х=1 вертикальная асимптота

2) Множество значений функции: E(f)=[0;+∞);

прямая у=1 горизонтальная асимптота

.Множество корней: у=0  х-1=2