§4 Степенная функция.
Функция
вида :
у=х𝛂, 𝛂Q
называется степенной функцией
Примечание:.
При любом значении «𝛂» график степенной функции проходит через точку (1;1)
Исследуем степенную функцию для различных значений «𝛂».
|
𝛂=2к; kN |
𝛂=2k+1; kN |
|
Y= |
Y= |
|
y 1 1 
x |
|
|
D(f)=R |
D(f)=R |
|
E(f)=[0;+∞) |
E(f)=R |
|
Y=0 x=0 |
Y=0 x=0 |
|
f(-x)=f(x) функция чётная |
f(-x)=-f(x)функция нечётная |
|
Если х(-∞;0), то функция убывает Если х(0; +∞),то функция возрастает. |
Функция возрастает на всей области определения.
|
|
Экстремумов нет |
Экстремумов нет |
;
y=
;
y=
;…
;
y=
;
y=
;…
|
𝛂=1/2к; kN |
𝛂=1/2k+1; kN |
|
Y= |
Y= |
|
|
|
|
D(f)=[0;+∞) |
D(f)=R |
|
E(f)=[0;+∞) |
E(f)=R |
|
Y=0 x=0 |
Y=0 x=0 |
|
Функция общего вида |
f(-x)=-f(x)функция нечётная |
|
Функция возрастает |
Функция возрастает |
|
Экстремумов нет |
Экстремумов нет |
;
y=
;
y=
;…
;
y=
;
y=
;…
|
𝛂=-2к; кN |
𝛂=-(2k-1); kN |
|
Y= |
Y= |
|
|
|
|
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) X=0вертикальная асимптота |
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) X=0вертикальная асимптота |
|
E(f)=(0;+∞) Y=0горизонтальная асимптота |
E(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) Y=0горизонтальная асимптота |
|
у≠0 корней нет |
у≠0 корней нет |
|
f(-x)=f(x) функция чётная |
f(-x)=-f(x)функция нечётная |
|
Экстремумов нет |
Экстремумов нет |
;
y=
;
y=
;…
;
y=
;
y=
;…
Общий случай.
α=
>0
y=
Пусть х0.
>1
0<
1
Примечание:
При х0 нужно провести дополнительное исследование.
Возможны
варианты:
а) Если D(f)=[0;+∞),то при х0 нет продолжения.
б) Если D(f)=R, то возможно чётное или нечётное продолжение
Пример 1.
Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:
-
у=
; -
у=
; -
у=
-
у=
Решение:
|
у= у= |
у= у= |
у= у= |
у= у= |
|
𝛂=2/3 1 |
𝛂=3/2>1 |
𝛂=5/3>1 |
𝛂=3/51 |
|
|
|
|
|
|
D(f)=R |
D(f)=[0;+∞) |
D(f)=R |
D(f)=R |
|
f(-x)=f(x) функция чётная |
Функция общего вида |
f(-x)=-f(x) функция нечётная |
f(-x)=-f(x) функция нечётная |
|
|
|
|
|
;
;
Если
0,
то у=
при х>0
Примечание:
При х0 нужно провести дополнительное исследование.
Возможны
варианты:
а) Если D(f)=(0;+∞),то при х0 нет продолжения.
б) Если D(f)=R\{0}, то возможно чётное или нечётное продолжение
Пример 2.
Построить схемы графиков и провести исследование данных функций:
1)Y=
;
2)Y=
;
3)Y=
.
Решение:
|
Y= |
Y= |
Y= |
|
У= |
У= |
У= |
|
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) |
D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞) |
D(f)=(0;+∞) |
|
Функция нечётная |
Функция чётная |
Функция общего вида |
|
|
|
|
Пример 3.
Построить схему графика и провести исследование данной функции:
у=
-1.
Решение:
Сначала
построим схему графика у=
(
>1
)
Заметим,
что . функция у=
чётная.
Затем сдвигаем ось абсцисс на 1 вверх.
В результате имеем следующую схему данного графика.
у
у
х
1
-1
-1
Исследование этой функции проводим с использованием построенного графика.