Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
Примечание.
F(x,y)=0уравнение линии, если координаты любой точки на линии и только они, удовлетворяют этому уравнению.
Неравенство
F(x;y)0
(F(x;y)≤0)определяет
область на координатной плоскости с
границей F(x;y)=0,
если все точки этой области и только
они, удовлетворяют данному неравенству.
Рассмотрим простейшие линии и области.
§1.Прямая на плоскости.
Общее уравнение прямой:
Ax+By+C=0,(A,B,CR)
Частные случаи.
-
С=0Ах+Ву=0точка О(0;0)прямой
-
А=0Ву+С=0у=-
=b
(прямая
оси абсцисс)
y
b
x
у
-
В=0Ах+С=0х=-
=а
(прямая
оси ординат)
а
х
-
А,В, С≠0Ах+Ву=-С
+
=1
Уравнение в отрезках на осях координат.
+
=1
-
Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
у=кх+b; b=y(0); k=tg𝛂 угловой коэффициент прямой.
-
Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
у=к(х-х0)-у0
-
Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
Заметим. что угловой коэффициент можно получить по формуле:
к=
Условие параллельности двух прямых.
|
Прямые заданы общим уравнением |
Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом |
|
|
|
(1)(2) |
(1)(2) |
Условие перпендикулярности двух прямых.
|
Прямые заданы общим уравнением |
Прямые заданы уравнением с угловым коэффициентом |
|
|
|
(1)(2) |
(1)(2)
|
Неравенство
Ах+Ву+С0 (Ах+Ву+С≤0)
определяет полуплоскость с границей
Ах+Ву+С=0
х
у
§2.Уравнение окружности.
Окружность с центром в точке (0;0) и радиусом R задаётся уравнением:
х2+у2=R2
Окружность с центром в точке (x0;y0) и радиусом R задаётся уравнением:
(x-x0)2+(y-y0)2=R2
Неравенство
х2+у2≤R2
определяет круг
Неравенство
х2+у2R2
определяет область вне круга
§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
Покажем, как преобразуются линии, если в уравнение задания линии вводить знак модуля.
Пусть
имеем уравнение F(x;y)=0(*)
-
Уравнение F(x;y)=0 задаёт линию симметричную относительно оси ординат. Если уже построена данная линия, заданная уравнением (*), то оставляем часть линии справа от оси ординат, а затем симметричным образом достраиваем слева.
-
Уравнение F(x;y)=0 задаёт линию симметричную относительно оси абсцисс. Если уже построена данная линия, заданная уравнением (*), то оставляем часть линии сверху от оси абсцисс, а затем симметричным образом достраиваем снизу.
-
Уравнение F(x;y)=0 задаёт линию симметричную относительно осей координат. Если уже построена линия, заданная уравнением(*), то оставляем часть линии в первой четверти, а затем достраиваем симметричным образом.
Рассмотрим следующие примеры
Пример 1.
Пусть имеем прямую, заданную уравнением:
(1),
где
a>0,
b>0.
Построить линии, заданные уравнениями:
Решение:
Сначала построим исходную прямую, а затем , используя рекомендации будем строить остальные линии.
х
у
а
b
(1)
-a
x
y
a
b
(2)
y
(3)
b
x
a
-b
y
b
(4)
a
x
-b
-a
-a
Пример 2
Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:
(∎)
Решение:
Сначала построим границу области, которая задаётся уравнением:
(4)
эту линию мы строили в предыдущем
примере.
Данная область будет находиться внутри, а не вне, т.к. контрольная проверка, например, точка (0;0) удовлетворяет данному неравенству:
0+0≤1 (верно).
у
х
а
-а
b
-b
Пример 3
Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:
Решение:
Аналогично предыдущему примеру мы получим ромб(в общем случае ромбоид), но с другими осями симметрии: х=х0 и у=у0.
у
х
х0
у0
Пример 4.
Построить линии, заданные уравнением:
(5)
Решение:
(объединение
двух параллельных прямых).
у
b
(5)
х
a
-a
-b
Пример 5
Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:
Решение:
Сначала строим границу области, заданную уравнением:
(5)
В предыдущем примере мы получили две параллельные прямые, которые разбивают координатную плоскость на две области:
-
область между прямыми
-
область вне прямых.
Для выбора нашей
области возьмём контрольную точку,
например, (0;0) и подставим в данное
неравенство: 0≤1 (верно)область
между прямыми, включая границу.
Обратите внимание, если неравенство будет строгим, то граница в область не входит.
-a
a
b
-b
у
х
Пример:6
Пусть имеем окружность, заданную уравнением:
(x-x0)2+(y-y0)2=R2
Построить лини, заданные уравнениями:
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 (1)
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 (2)
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 (3)
Решение:
Сначала построим данную окружность.
Пусть
для определённости имеем:
y
y0
x
x0
Построение линии (x-x0)2+(y-y0)2=R2 (1)
Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «х».
Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси ординат.
у
(1)
у0
х
х0
-х0
Построение линии (x-x0)2+(y-y0)2=R2 (2)
Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «у».
Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси абсцисс.
у
х
х0
у0
-у0
(2)
Построение линии (x-x0)2+(y-y0)2=R2 (3)
Используем рекомендации для построения линий в случае когда введён модуль для переменной «х» и переменной «у».
Сохраним данную окружность и построим симметричную относительно оси абсцисс. и оси ординат.
у
х
х0
у0
-у0
-х0
(3)
Пример 7
Изобразить на координатной плоскости область, заданную неравенством:
(x-x0)2+(y-y0)2≤R2
Решение:
Сначала строим границу области, заданную уравнением:
(x-x0)2+(y-y0)2=R2 (3)
В предыдущем примере мы выполнили такое построение и получили 4 окружности. Область, заданная неравенством это 4 круга (достаточно проверить для первой четверти подстановкой контрольной точки, например, (х0;у0))
х
х0
у0
-у0
-х0