4.Функция непрерывная и строго возрастает

Существует обратная функция.

5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

у=-23^х+1=у+2х+1=х=1 (f^-1)

6.Для построения графика обратной функции в старой системе координат поменяем местами переменные :ху: у=-1 (f^—1).

7.D(f^-1)=E(f)=(-2;+∞); х=-2вертикальная асимптота.

8.E(f^-1)=D(f)=(-∞;+∞).

9.f^-1 возрастает и непрерывна.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Пример 18.

Дано: y=+2

Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f^-1(x).

Решение:

1.Строим график функции y=+2

f^-1

y

5

х=1

у=1

у=х

f

x

5

2.D(f)=(1;+∞); x=1вертикальная асимптота.

3.E(f)=(-∞;+∞).

4.Функция непрерывна и строго убывает.

Существует обратная функция.

5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

y=+2=у-2х-1=х=(+1.

6.Для построения графика обратной функции в старой системе

координат поменяем местами переменные :ху =(+1 (f^-1)

7.D(f^-1)=E(f)=(-∞;+∞).

8.E(f^-1)=D(f)=(1;+∞); y=1горизонтальная асимптота.

9.Функция непрерывна и убывает.

Пример 19.

Дано:

у=х²-7х+12.

1)Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

2)Построить графики.

Решение:

у=х²-7х+12у=(х-3,5)²-0,25это парабола.

• х=3,5 ось симметрии

• (3,5;-0,25)вершина параболы

• корни: х₁=3; х₂=4.

• у(0)=12.

1.Строим график данной функции.

f₁

х

у

х=3,5

3

4

f₂

Имеем два интервала монотонности.

N	f1	f2
1	D(f1)=(-∞;3,5]	D(f2)=[3,5;+∞)
2	E(f1)=[0,25;+∞)	E(f2)=[0,25;+∞)
3	Функция убывает	Функция возрастает
4	Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25 х-3,5= Х-3,5=- Х=3.5-	Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25 х-3,5= Х-3,5= Х=3.5+
5	xy f1-1: y=3,5-	xy f2-1: y=3,5+
6	D(f1-1)=E(f1)=[0,25;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[0,25;+∞)
7	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;3,5]	E(f2-1)=D(f2)=[3,5;+∞)
8	f1-1(x) убывает	f2-1(x)возрастает
9	f1 f1-1	f2 f2-1

Замечание:

Обратите внимание, что f₁=f₂= х²-7х+12.

Но обратные функции имеют различные формулы задания.

Но, если построить графики обратных функций в одной системе координат, то получим тоже параболу, которую задают уравнением:

(у-3,5)²=х+0,25.

у=3.5

Пример 19.

Дано:

у=

1)Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

2)Построить графики.

Решение:

Данная функция задаётся объединением двух формул, если раскрыть знак модуля.

у=.

Схема графика:

f₂

f₁

x=1

3

-1

x

y

Имеем два интервала монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=
1	D(f1)=(-∞;1]	D(f2)=[1;+∞)
2	E(f1)=[-4;+∞)	E(f2)=[-4;+∞)
3	Функция убывает	Функция возрастает
4	Формула обратной функции: У= 21-х=у+4 1-х= Х=1-	Формула обратной функции: У= 2х-1=у+4 Х-1= Х=1+
5	ху f1-1: y=1-	ху f2-1: y=1+
6	D(f1-1)=E(f1)=[-4;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[-4;+∞)
7	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;1]	E(f2-1)=D(f2)=[1;+∞)
8	f1-1(x)убывает	f2-1(x)возрастает
9	-4 -4 у=х х=1 f1-1 f1	y=x x=1 -4 -4 f2 f2-1

Пример 20.

По данному графику найти аналитическое выражение функции и на каждом интервале монотонности определить обратную функцию и построить графики.

у

х

-3

1

-1

5

4

2

f₁

f₂

f₃

Имеем ломаную и три интервала монотонности.

На каждом интервале найдём аналитическое задание функции.

f₁

D(f₁)=[-3;0]; проходит через точку (-3;0) с угловым

коэффициентом к₁=1/3

Уравнение прямой ищем в виде: у=к₁(х-х₀)+у₀у=1/3(х+3).

D(f₂)=[0;2]; проходит через точку (0;1) с угловым

f₂

коэффициентом к₂=-1

Уравнение прямой ищем в виде: у=к₂(х-х₀)+у₀у=-х+1.

f₃

D(f₃)=[2;5]; проходит через две точки М₁(2;-1) и М₂(5;4).

Уравнение прямой ищем в виде:  

5(х-2)=3(у+1)у=х-.

Окончательно получаем объединённую формулу задания данной функции.

f(x)=

Далее на каждом интервале монотонности определим обратную функцию и проведём полное исследование.

Обратите внимание, что нельзя найти единой обратной функции, но можно определить обратную функцию на выбранном участке монотонности.

N	f1(x)=	f2(x)=-x+1	f3(x)=
1	D(f1)=[-3;0]	D(f2)=[0;2]	D(f3)=[2;5]
2	E(f1)=[0;1]	E(f2)=[-1;1]	E(f3)=[-1;4]
3	Возрастает	Убывает	Возрастает
4	Формула обратной функции У= Х=3у-3	Формула обратной функции У=-х+1 Х=-у+1	Формула обратной функции У= Х=
5	xy f1-1(x)=	xy f2-1(x)=-x+1	xy f3-1(x)=
6	D(f1-1)=E(f1)=[0;1]	D(f2-1)=E(f2)=[-1;1]	D(f3-1)=E(f3)=[-1;4]
7	E(f1-1)=D(f1)=[-3;0]	E(f2-1)=D(f2)=[0;2]	E(f3-1)=D(f3)=[2;5]
8	f1-1(x) возрастает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
9	у=х -3 1 1 -3 f1 f1-1	-1 -1 y=x 2 2 f2-1 f2	-1 2 -1 2 4 5 4 5 f3-1 f3 y=x

Пример 21.

Дано:

у=х-1+2х+3-2х+1.

1)Построить график данной функции и определить интервалы монотонности.

2) На каждом интервале монотонности найти обратную функцию.

Решение:

Раскроем знак модуля и получим задание данной функции как объединение формул:

у=

у=

Строим график данной функции и определяем интервалы монотонности.

11

8

-3

1

-4

2

7

16

f₁

f₂

f₃

x

y

N	f1(x)=-5x-4	f2(x)=-x-8	f3(x)=x+6
1	D(f1)=(-∞;-3]	D(f2)=[-3;1]	D(f3)=[1;+∞)
2	E(f1)=[11;+∞)	E(f2)=[7;11]	E(f3)=[7;+∞)
3	убывает	Убывает	Возрастает
4	Формула обратной функции У=-5х-4 Х=-	Формула обратной функции У=-х-8 Х=-у+8	Формула обратной функции У=х+6 Х=у-6
5	ху f1-1(x)=-	ху f2-1(x)=-х+8	ху f3-1(x)=х-6
6	D(f1-1)=E(f1)=[11;+∞)	D(f2-1)=E(f2)=[7;11]	D(f3-1)=E(f3)=[7;+∞)
7	E(f1-1)=D(f1)=(-∞;-3]	E(f2-1)=D(f2)=[-3;1]	E(f3-1)=D(f3)=[1;+∞)
8	f1-1(x) убывает	f2-1(x) убывает	f3-1(x) возрастает
9	-3 -3 11 f1-1 11 f1	-3 -3 7 11 1 7 11 1 f2 f2-1	1 7 7 1 f3 f3-1

Пример22 (творческое задание)

Задайте график ломаной.

Найдите аналитическое задание этой функции.

На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию и проведите полное исследование.

Пример 23 (творческое задание)

Дано:

у=к₁х-а+к₂х-b+k₃x+c

1. Задайте параметры (к₁;к₂;к₃;a;b)

2. Постройте график данной функции.

3. На каждом интервале монотонности найдите обратную функцию.

Примечание:

Обратите внимание на задание функции:

не должно быть участков, где функция постоянная.

В противном случае Вы не сможете найти обратную функцию.

Желаю успеха!