- •Оглавление
- •§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526
- •§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634
- •§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213
- •Глава 1. Числовые множества.
- •§1 Основные понятия.
- •2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
- •§2 Решение задач.
- •Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.
- •§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.
- •Пример 3 Решить уравнения:
- •Решения:
- •§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.
- •Пример 1 Решить следующие неравенства:
- •Глава 3. Элементы теории множеств.
- •§1Основные понятия.
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.
- •§1 Основные понятия и определения.
- •1.Отображение множества а в множество в (общий случай).
- •2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)
- •Решение:
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 5.Числовые функции и их свойства.
- •§1 Определение числовой функции. Основные свойства.
- •§2 «Полезные» функции
- •Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.
- •Пример 2
- •§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.
- •Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
- •§1.Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
- •§2.Уравнение окружности.
- •§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
- •§4. Множества на плоскости.
- •Задача 2.
- •Решение:
- •Задача 3 (самостоятельно)
- •Глава 7. Элементарные функции.
- •§1 Линейная функция.
- •§2 Обратная пропорциональная зависимость.
- •Чётностьнечётность.
- •Промежутки монотонности
- •6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.
- •1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)
- •2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).
- •Область определения функции:
- •Чётностьнечётность.
- •Чётностьнечётность.
- •§3 Дробнолинейная функция
- •5.Экстремумов нет.
- •4. F(X)≠функция общего вида
- •6.Экстремумов нет.
- •Область определения функции:
- •3): У≠0 корней нет.
- •§4 Степенная функция.
- •На интервале (-∞;0) функция убывает
- •На интервале (-∞;0) функция убывает,
- •§5. Квадратичная функция.
- •Пример 1.
- •Решение:
- •Пример 3.
- •Решение:
- •Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:
- •Пример 6 (самостоятельно).
- •Пример 7.
- •Решение:
- •§6.Показательная функция.
- •Корней нет, т.К. У≠0.
- •Функция общего вида.
- •Экстремумов нет.
- •Нет корней, т.К. У≠0.
- •Функция чётная .
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •§7. Логарифмическая функция.
- •Полезные формулы.
- •Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
- •§8.Сложная функция.
- •1)Если обе функции f и g возрастают,
- •2)Если обе функции f и g убывают,
- •3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
- •4) Общего вида.
- •Общего вида.
- •4)Чётная функция.
- •§9.Обратные функции.
- •4.Функция непрерывная и строго возрастает
- •5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.
- •Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
- •§1.Периодические функции и их свойства.
- •§2.Определение тригонометрических функций.
- •Экстремумов нет.
- •Экстремумов нет.
- •3.Убывает и непрерывна. -1
- •2.Множество значений функции: (-.
- •3.Убывает и непрерывна.
- •2.Множество значений функции:(0;π);
- •4.Функция общего вида.
- •§11.Решение примеров.
- •Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
- •Пример16. Найти периоды данных функций.
- •Решение:
§6.Показательная функция.
Функция вида:
у= , а>0; а≠1
называется показательной функцией.
График функции называется экспонентой.
у
х
х
у
1
1
а>1
0а1
Исследование:
-
D(f)=R
-
E(f)=(0;+∞); прямая у=0 горизонтальная асимптота.
-
Корней нет, т.К. У≠0.
-
у(0)=1 ( все графики проходят через точку (0;1).
-
Функция общего вида.
-
при а>1функция возрастает на всей области определения т.е. из условия х1>х2
при 0а1функция убывает на всей области определения т.е. из условия х1>х2
-
Экстремумов нет.
Обратите внимание на поведение функции на границах области определения.
Если а>1, то
Если 0а1, то
Пример 1.
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=-2.
Решение:
Порядок работы:
-
у=; (2) у=; (3) у=-2; (4) -2.
В результате имеем следующую схему графика:
у
2
0
1
х
2
-2
Исследование:
1). D(f)=R.
2) E(f)=[0;+∞)
3) y=0 -2=0=2x-1=1
4)у(0)=0; у(1)=2.
5) функция общего вида (прямая х=1ось симметрии)
6)min y(0)=0; min y(2)=0; max y(1)=2.
Пример 2.
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=(-4 .
Решение:
Порядок работы:
-
у=(; (2) у=-4; (3)у=( -4; (4) у=(-4 .
В результате имеем следующую схему графика:
у
х
4
3,5
0
Исследование:
-
D(f)=R
-
E(f)=[3,5;4); у=4 горизонтальная асимптота.
-
Нет корней, т.К. У≠0.
-
Функция чётная .
-
min y(0)=3,5.
Пример 3.(самостоятельно)
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=-3.
Пример 4.(самостоятельно)
С помощью преобразований графиков построить график данной функции и провести исследование .
у=(-5.
Пример 5.
Дано:
f(x)=-24; D(f)=[-2;0]=X; E(f)=Y; f: XY.
Найти:
-
E(f)
-
Определить вид отображения (построить график).
Решение:
Функция у= возрастает. Данная функция тоже возрастает, т.к. получена из данной параллельным переносом.
Вывод: отображение ; f: XY является биекцией.
Вычислим значение функции на границах области определения функции: f(-2)=-4; f(0)=1 E(f)=[-4;0]
заметим, что прямая у=-24 горизонтальная асимптота у>-24.
Схема графика функции в указанной области определения имеет вид:
-2
-4
1
у
х
Х
У
Пример 6.
Дано:
f(x)=-2; D(f)=[-1;1]=X; E(f)=Y; f: XY
Найти:
-
E(f)
-
Определить вид отображения (построить график).
Решение:
Сначала построим схему графика данной функции, используя преобразования графиков и вычислим значения функции на границах области определения и в точке минимума:
f(-1)=-1; f(1)=-1; f(0)=-1,5 (заметим. что данная функция чётная)
Порядок работы: (1) у=; (2) у=; (3) у=.
На интервале (-1;0) функция убывает; на интервале (0;1) функция возрастает.
E(f)=[-1,5;-1] сюръекция (отображение «на»)
Схема графика:
-1
1
Х
У
х
у
Пример7.(Самостоятельно)
Дано:
у=(-3; D(f)=[-2;1]; E(f)=Y; f: XY.
Найти: