Пример 1 Решить следующие неравенства:

1. 3х-15>10; 2) 7х+12≤5; 3) 7-5х7; 4) 4-3х≤4; 5) 0;

≤0; 7) ≤0; 8) >0.

Решения:

5

1. 3х-15>10 х-5>

   5/3

   25/3

   х

Ответ: х(-;5/3)

2. 7х+12≤5  х+≤

   -17/7

   -1

   -12/7

   х

Ответ: х[-;-1]

3. 7-5х7  x- 

   0

   14/5

   7/5

x

Ответ :х

4. 4-3х≤4  x-4/3 ≤ 4/3

   0

   8/3

   4/3

   x

Ответ: х[0;8/3]

5. 0  

Ответ: х

≤0  

Ответ: х(

6. ≤0  

Ответ:

8) >0  

Ответ: х(

Пример 2

Решить следующие неравенства:(самостоятельно)

1. 5х-2 10; 2) 4-3х12; 3) 2х+10>1; 4) 10х+1≤20; 5) 0;

6. ≤0; 7) 0; 8) 0.

Ответы: 1)

4. [-2,1;1,9]; 5) (

6. ; 8)

Пример 3

Решить следующие неравенства:

1. х²+25≤10х; 2) х²+6х+105; 3) х+8≤х²+6; 4) х²-42х-5;

4. х²-5х3х-7; 6) х²-6≤х²+4х; 7) 2х+5>х²-4х-2;

8. х²+5х+9≤х²-7х-4

Решения:

1. х²+25≤10х( т.к. х²+25>0, то х²+25=х²+25) х²+25≤ 10х 

 х²-10х+25≤0  (х-5)²≤0  х=5

Ответ: {5}

2. х²+6х+105 (т.к. х²+6х+10>0 /дискриминант отрицательный/ ,то

х²+6х+10=х²+6х+10 )  х²+6х+105  х²+6х+50  (х+5)*(х+1)0

-5

-1

х

Ответ: х]

3. х+8≤х²+6 (x²+6>0)  

x

-1

2

Ответ: х[-1;2]

4. х²-42х-5   



Ответ: х

5. х²-5х3х-7   



3.8

7/3

1

7

х₂

х₁

Ответ: х(1+ 7)

6. х²-6≤х²+4х  6) (х²-6)²≤(х²+4х)² (х²-6)²-(х²+4х)²≤0 

 (х²-6-х²-4х)(х²-6+х²+4х)≤0  (-4х-6)(2х²+4х-6)≤0 

+

+

 (2х+3)(х+3)(х-1)0

-3

-3/2

1

х

Ответ: x[-3;-3/2]

7. 2х+5>х²-4х-2 (2х+5)²>(х²-4х-2)²  (2х+5)²-(х²-4х-2)²>0 

 (х²-4х-2-2х-5)(х²-4х-2+2х+5)0 (х²-6х-7)(х²-2х+3)0 

+

+

-

 (х-7)(х-1)0 (х²-2х+3>0, т.к. D0)

1

7

x

Ответ: х(1;7)

8) х²+5х+9≤х²-7х-4 Заметим. что х²+5х+9>0 т.к. D0 

х²+5х+9=х²+5х+9x²-7x-4х²+5х+9    x≤-

Ответ: х (-

Пример 4

Решить следующие неравенства (самостоятельно):

1. х²+81 -18х; 2) х²-8х+14≤2; 3) 2х+1х²+2; 4) х²-10х+142х+3;

5. 4х-13х²-9; 6) х²-2х+26-х²; 7) х²-2х-3>2х-3;

8. х²-7х+2≤х²-7х+10.

Ответы: 1) (-∞;+∞); 2) [2;6]; 3) {1}; 4) (1;11); 5)[-2- ;-2+];

5. (-;-1]; 8)

Пример 5

Решить следующие неравенства:

1. х-1-2х+53х-4;

2. 2х+1+4-2х≤6х+1.

Решения:

1. х-1-2х+53х-4

   х-1

   -2,5

   -

   -

   +

2х+5

1

-

+

+



2x+1

Ответ: х(-∞;0]

-

+

+

2. 2х+1+4-2х≤6х+1

   +

   4-2x

   -0,5

   2

   +

   -



Ответ: х[2/3;+∞)

Пример 6

Решить следующие неравенства (самостоятельно)

1. 3х+1-2х-3≤х+5;

2. 4х-8+4х+125-4х.

Ответы: 1)[ -4,5;+∞); 2) (-∞;+∞).

Пример 7

Решить следующие неравенства:

1. ≤0; 2)  -11; 3) ≤1; 4) ≤0

Решение:

1. ≤0  ≤0  

Ответ: х(-1/3; 1/3)

2.  -11  

Ответ: х[-5/3;-1)

3. ≤1 (x²+4>0)   



1

3

x

Ответ: x(-

4. ≤0  ≤0  x+30  x-3,

Ответ: х(-∞;-3)

Пример 8

Решить следующие неравенства (самостоятельно)

1. 0; 2) ; 3) 2; 4) .

Ответ: 1) х:

3. x.

Пример 9

Решить системы неравенств:

1. ; 2).

Решение:

1. 

   -2

   2

   х

   

   -3

   5

   х

-3

1

х

Ответ: x[2;5]

2. 

   1,5

   x

   

   1

   2

   -2,5

   x



Ответ: x[1,5;2]

Пример 10

Решить системы неравенств (самостоятельно):

1. ; 2) .

Ответ: 1) x[2;4]; 2){1,6}