§8.Сложная функция.
Определение
сложной функции, как композиции
отображений, было рассмотрено в главе
4.
Если
заданы две функции y=f(x);
y=g(x)
(E(g)D(f)
), то функция F(x)=f(g(x))
называется сложной
функцией.
Возьмите на заметку:
1)Если обе функции f и g возрастают,
то функция F тоже возрастает.
2)Если обе функции f и g убывают,
то функция F возрастает.
3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
то функция F убывает.
Пример 1.
Дано:
f(x)=
;
g(x)=x7;
𝛗(x)=x.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Решение:
y=f(g(𝛗(x)))=f(g(x))=f(x7)=
y=
Сначала
построим график функции у=
>1
Затем сделаем чётное продолжение.
Схема графика:
у
х
Исследование:
-
D(y)=R
-
E(y)=[0;+∞)
-
Чётная
-
у=0 х=0
-
min y(0)=0.
Пример 2.
Дано:
f(x)=x-2;
g(x)=x7;
𝛗(x)=
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Решение:
y=f(g(𝛗(x)))=f(g(
))=f(
=
y=
Порядок построения графика этой функции:
(1)у=
(2)
у=
(3)
Схема графика:
1
у
х
-2
4
Исследование:
1) D(y)=(0;+∞); x=0 вертикальная асимптота.
2) E(y)=[-2;+∞).
3)
y=0
=2
4) Общего вида.
5) min y(1)=-2.
Пример 3.
Дано:
f(x)=x+2;
g(x)=
;
𝛗(x)=-(x+1)
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Решение:
y=f(g(𝛗(x)))=f(g(-(x+1)))=f(
=
+2
y=
+2
Порядок построения графика этой функции:
-
у=
;
(2) у=
;
(3) у=
+2;
(4)у=
+2
Схема графика:
-1
у
х
-5
2
Исследование:
-
D(y)=(-∞;-1); x=-1 вертикальная асимптота.
-
E(y)=[0;+∞).
-
у=0
-(х+1)=4х=-5
-
Общего вида.
-
min y(-5)=0.
Пример 4.
Дано:
f(x)=x-3;
g(x)=
;
𝛗(x)=x.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Решение:
y=f(g(𝛗(x)))=f(g(x))=f((
)=(
-3
y=
-3.
Порядок построения графика этой функции:
(1)у=
;
(2)у=
;
(3) у=
-3.
Схема графика:
-3
-2
0
х
у
Исследование:
1)D(y)=R.
2)E(y)=(-3;2]; y=-3горизонтальная асимптота.
3)корней нет, т.к. у≠0; у(0)=-2.
4)Чётная функция.
5) max y(0)=-2.
Пример 5(самостоятельно).
Дано:
f(x)=
;
g(x)=x3;
𝛗(x)=x+1.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Ответ:
у=
;
min
y(0)=1.
Пример 6(самостоятельно).
Дано:
f(x)=x-4;
g(x)=
;
𝛗(x)=x.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Ответ:
у=
-4;
х=0вертикальная
асимптота; экстремумов нет.
Пример 7 (самостоятельно).
Дано:
f(x)=2x; g(x)=x; 𝛗(x)=x-4.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Ответ:
у=
;
min
y(4)=1.
Пример 8 (самостоятельно).
Дано:
f(x)=
;
g(x)=
;
𝛗(x)=x+1.
Найти аналитическое выражение функции
y=f(g(𝛗(x))),
построить график и провести исследование.
Ответ:
у=
;
х=0вертикальная
асимптота; экстремумов нет.