Глава 3. Элементы теории множеств.

§1Основные понятия.

Напомним, что универсальное множество, которое содержит в себе все другие множества, обозначается буквой .

Пустое множество обозначается .

А

A {x (xA)((xB)}

A\B (разность множеств)  {x (xA)(xB)}

=\A (дополнение множества А до )

При работе с множествами будем использовать следующие свойства основных операций над множествами.

N	Объединение	Пересечение
1	А	А
2	(А	(АВ)
3	А
4
5	А=	А

Первый дистрибутивный закон:

Второй дистрибутивный закон

N	Свойства дополнения
1	=
2
3
4
5
6
7

Примечание: формулы 6 и 7 называют формулами де Моргана

	Полезные формулы
1
2
3
4
5
6
7
8	Если АВ, то
9
10	Если АВ,то А\В=

§2 Решение примеров.

Пример 1.

Дано:

АВСD

Упростить:

а) (

b) (

c)

Решение:

C

A



D

B

A

а) (=ВB (Aт.к. АВ; СD=D, т.к.СD)

Ответ: B

b) (=

Заметим, что 

Ответ:

c)D==

Ответ:

Пример 2

Дано:

AB; CD;

Упростить:

1. ;

2. 

3. 

4. 

Решение:

А

В

С

D



1. =

Ответ:

в)

Ответ: С

с); [ (

Ответ:

d)=D(DC)

Ответ: D

Пример 3

Упростить:

1 дистр. закон

Решение:

==А

Ответ: А

Пример 4

Упростить:

формула 4

Решение:

=(

формула 7

Ответ: В

Пример 5

Упростить:

Решение:

==Х

Ответ:

Пример 6

Упростить:

1 дистр.

закон

Решение:

=А=А

Ответ: А

Пример 7

Дано: A={xR x-22}; B={xR x≤4}; C={xR x+1≤5}

Найти: a) b) ; c) .

Решение:

A={xR x-22};

0

4

х

А=

B={xR x≤4};

-4

4

x

B=[-4;4]

C={xR x+1≤5}

-6

4

x

C=[-6;4]

Ответ:

1. =R; b) =[-4;0];

2. c)=C=[-6;4].

Пример 8

Дано: A={xR ≤2}; B={xR 1}

Найти: а) .

Решение:

A={xR ≤2}={xR 2x-1≤2}

2x-1≤2  x-0,5≤1

-0,5

1,5

x

A=[-0,5;1,5]

B={xR 1}={xR 3x+11}

3x+11 x+1/31/3

-2/3

0

x

B=[0;+

Ответ: a) ; b)

;c)A\B=[-0,5;0]

Пример 9

(самостоятельно)

Дано:

Упростить:

1. 

2. 

3. (

4. 

5. 

Ответ: a) A; b) D; c) ; d)

Пример 10.

(самостоятельно)

Дано: ABC; C∩D=∅

Упростить:

1. (A∪B∪C)∩

2. (A∩C)∪B∩D

3. (∩D)∪(B∩C)

Ответ: a) C; b)C; c) B∪D.

Пример 11

(самостоятельно)

Упростить:

(А∪(А∩В))∩(А∩В). Ответ:А∩В

Пример 12

(самостоятельно)

Упростить:

(А∩В)∪(А∩)

Ответ: А

Пример 13

(самостоятельно)

Упростить:

(А∩∪(А∩С)∪(А∩В∩С)

Ответ: А

Пример 14

(самостоятельно)

Упростить:

А∩(А∪А∩В)∪В∩(

Ответ: В

Пример 15

(самостоятельно)

Дано: A={x∈R x+0,5≤2,5}; B={xR x-0,50,5}; C={xR x+0,4≤2,6}

Найти: a) A∪B∪C; b)A∩B∩C; c)(A∪C)∩B

Ответ: a) R; b)[-3;1]∪{2}; c) [-3;1]∪[2;2,2]

Пример 16

(самостоятельно)

Дано: A={xR }

B={xR }.

Найти: a) A∪B; b)A∩B; c)A\B.

Ответ: a) (-∞;-1,6]∪[11/3;+∞);b) [-2,4;-7/3];c) (-7/3;1,6]

Пример 17

Дано: A={xR 4x²+1≤4x}; B={xR x+3-2x+1≤x+4}

Найти:a)C=A∪B; b)D=A∩B; c)E=.

Решение:

4x²+1≤4x  4x²+1≤4x  4x²+1-4x≤0  (2х-1)²≤0

х=0,5

−

x+3

+

+

A={0,5}

-3

−

2x+1

-0,5

−

+

x+3-2x+1≤x+4

 

B=R

Ответ: a)C=R; b)D=A={0,5}; c)E=∅

Пример 18

Дано: A={xR 6x²-14x+18,8-x²-9=0}; B={xR }

Найти: А∪В.

Решение:

6x²-14x+18,8-x²-9=0  



A={1,4}

 0  

B=(-∞;-0,2]∪[0,2;√3/2)∪(√3/2;+∞)

Ответ: А∪В=В==(-∞;-0,2]∪[0,2;√3/2)∪(√3/2;+∞)

Пример 19

(самостоятельно)

Дано: A={xR 4x²+5x-8-4x²+5x+6=0}

B={xR  -14}

Найти: А∪В.

Ответ: (2;3)∪(3;+∞)∪{-0,25}∪{-1}

Пример 20

(самостоятельно)

Дано: A={xR x²-x+4-x²-x-8≤0}; B={xR ≤ 0}

Найти: А∩В.

Ответ: [-1;0,5)

Пример 21

(самостоятельно)

Дано: A={xR }; B={xR  1}

Найти: А∪В.

Ответ: (-∞;-5)∪{2/3}∪[1;+∞).

Пример 22

(самостоятельно)

Дано: A={xR x²-4x+8-x²-14=0}; B={xR x⁴+x+x³-8x²-9x=0}

Найти: а) А∪В; b) А∩В.

Ответ: а) {-1;0;3;5,5} b){-1}