- •Оглавление
- •§1 Основные понятия……………………………………………………………………………………………………………………………….2526
- •§2 Решение примеров…………………………………………………………………………………………………………………………….2634
- •§11 Решение примеров………………………………………………………………………………………………………189213
- •Глава 1. Числовые множества.
- •§1 Основные понятия.
- •2; ()2; ()3;…;;…, То с ростом n значения последовательности будут возрастать, но никогда не будут больше числа 3. Такая последовательность имеет предел, который равен иррациональному числу е.
- •§2 Решение задач.
- •Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.
- •§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.
- •Пример 3 Решить уравнения:
- •Решения:
- •§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.
- •Пример 1 Решить следующие неравенства:
- •Глава 3. Элементы теории множеств.
- •§1Основные понятия.
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 4. Отображение множеств. Виды отображений.
- •§1 Основные понятия и определения.
- •1.Отображение множества а в множество в (общий случай).
- •2.Сюръекция ( отображение множества а на множество в)
- •Решение:
- •§2 Решение примеров.
- •Глава 5.Числовые функции и их свойства.
- •§1 Определение числовой функции. Основные свойства.
- •§2 «Полезные» функции
- •Пример 1 Построить график и провести исследование по предложенной выше схеме.
- •Пример 2
- •§3.Построение графиков и исследование функций со знаком модуля.
- •Глава 6. Построение линий и областей на плоскости, заданных уравнениями и неравенствами.
- •§1.Прямая на плоскости.
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой:
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку (х0;у0):
- •Уравнение прямой, проходящей через две точки м1(х1;у1) и м2(х2;у2).
- •§2.Уравнение окружности.
- •§3.Построение линий и областей на координатной плоскости.
- •§4. Множества на плоскости.
- •Задача 2.
- •Решение:
- •Задача 3 (самостоятельно)
- •Глава 7. Элементарные функции.
- •§1 Линейная функция.
- •§2 Обратная пропорциональная зависимость.
- •Чётностьнечётность.
- •Промежутки монотонности
- •6.Экстремумов нет, т.К. Функция строго монотонна.
- •1.Новая ось (оу) проходит через точку (-1;0)
- •2.Новая ось (ох) проходит через точку (0;2).
- •Область определения функции:
- •Чётностьнечётность.
- •Чётностьнечётность.
- •§3 Дробнолинейная функция
- •5.Экстремумов нет.
- •4. F(X)≠функция общего вида
- •6.Экстремумов нет.
- •Область определения функции:
- •3): У≠0 корней нет.
- •§4 Степенная функция.
- •На интервале (-∞;0) функция убывает
- •На интервале (-∞;0) функция убывает,
- •§5. Квадратичная функция.
- •Пример 1.
- •Решение:
- •Пример 3.
- •Решение:
- •Найдите значение параметра а. Постройте график функции и найдите минимальное(максимальное) значение функции:
- •Пример 6 (самостоятельно).
- •Пример 7.
- •Решение:
- •§6.Показательная функция.
- •Корней нет, т.К. У≠0.
- •Функция общего вида.
- •Экстремумов нет.
- •Нет корней, т.К. У≠0.
- •Функция чётная .
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •Определить вид отображения (построить график).
- •§7. Логарифмическая функция.
- •Полезные формулы.
- •Докажем это утверждение основываясь на теореме об обратной функции.
- •§8.Сложная функция.
- •1)Если обе функции f и g возрастают,
- •2)Если обе функции f и g убывают,
- •3)Если одна из функций возрастает, а другая убывает,
- •4) Общего вида.
- •Общего вида.
- •4)Чётная функция.
- •§9.Обратные функции.
- •4.Функция непрерывная и строго возрастает
- •5.Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.
- •Глава 8. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции и их свойства.
- •§1.Периодические функции и их свойства.
- •§2.Определение тригонометрических функций.
- •Экстремумов нет.
- •Экстремумов нет.
- •3.Убывает и непрерывна. -1
- •2.Множество значений функции: (-.
- •3.Убывает и непрерывна.
- •2.Множество значений функции:(0;π);
- •4.Функция общего вида.
- •§11.Решение примеров.
- •Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
- •Пример16. Найти периоды данных функций.
- •Решение:
3.Убывает и непрерывна.
х=π
х
х=0
у
y=ctgx
4.Формула обратной функции:
f-1: x=arcctg x.
5.xy
y=arcctg x.
Исследование:
1.Область определения функции: (-∞;+∞).
2.Множество значений функции:(0;π);
прямые у=0 и у=πгоризонтальные асимптоты.
3.Корней нет, т.к. у≠0; у(0)=π/2.
4.Функция общего вида.
Справедлива формула: arcctg(-x)=π- arcctg x.
5.Если х возрастает от -∞ до +∞, то функция убывает от π до 0.
6.Экстремумов нет.
ctg(arcctg x)=x
y
y=π
x
y=0
y=arcctg x
§11.Решение примеров.
Пример1
Найти область определения следующих функций
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
Решения
1)
Заметим, что:
Область определения функции:
≤xn; nZ.
Ответ: {(;),nZ}
2)
Заметим, что
Область определения:
Ответ:
3)
Заметим, что:
Тогда:
Область определения функции:
-
Ответ:
4)
Область определения функции:
Пусть cos x = t,
Ответ:
5)
Область определения функции:
(область определения y = tg x)
Ответ:
6)
Область определения функции:
Ответ:
7)
Область определения функции:
(условие существования тангенса)
Ответ:
Пример 2.
Найти область определения следующих функций (самостоятельно)
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7)
Ответы: 1)D(y)={( 2)
3) 4)
5) 6)
7)
Пример 2.
Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов.
-
f(x)=cos2x + cosx –3/4 ;
-
f(x)=cos2x + cosx - 3/2 ;
-
f(x)= -4cos2x + 4cosx
Решение:
-
f(x)=cos2x + cosx –3/4
Введем новую переменную t=cosx , t Є [-1,1]
f(t)= t2 +t – ¾ f(t)= (t+1/2)2-1 , t Є [-1,1] (рис1)
min f|t=-1/2= -1 m=-1 ; f(-1)=-3/4 ;
f(1)= 5/4 M=5/4
E(f)= [-1;1] min f=-1 при t=- <==> cosx= - <==> x=±π + 2πк , к Є Z
Ответ: E(f)= [-1;1]; minf(±+2πk)=-1
-
f(x)=cos2x +cosx -
Введем новую переменную: t=cosx , t Є [-1,1]
f(t)=t2+t - f(t)= (t+ )2-2 , t Є [-1,1] (рис. 2)
minf|t=-= -2 m=-2 ; f(-1)= (-1+)2-2 =
= 1 - + -2= - -√2;
f(1)= (1 + )2-2= -+√2
M=- E(f)= [-2;√2 -]
minf=-2 при t= <==> cosx = - <==> x=±π + 2πк
Ответ: E(f)= [-2; -] ; minf| x=±π + 2πк =-2
Рис.2
-
f(x)= -4cos2x+4√3 cosx
Введем новую переменную: t= cosx ; t Є [-1,1]
f(t)= -4t2+4√3 t , t Є [-1,1]
f(t)=-4(t-)2+3 (рис.3)
maxft==3 M=3 ;
f(-1)= -4 - 4 m= -4 - 4
f(1)= -4+ 4
E(f)=[ -4 - 4 ;3]
maxf=3 при t= <==>cosx= <==> x=± 𝛑+ 2𝛑к, кZ.
Ответ: E(f)=[ -4 - 4 ;3] ; maxf(±
Пример 3 (самостоятельно)
Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов (самостоятельно) 1) f(x)= - sin2x – sinx +
2) f(x)= -2 sin2x+ 2sinx +2
3) f(x)=4sin2x +4sinx -2
Ответ: 1) E(f)= [-1;1] maxf((-1)k+1+πk; kZ)=1
2) E(f)=[- 2;3] maxf((-1)k +πk;kZ)=3
3) E(f)=[-5; 2+4] minf((-1)k+1)=-5
Пример 4.
Решить уравнение:
+=1
Решение:
Обозначим t[-1;1]
t-
Геометрическое решение:
(Повторите в разделе «специальные функции» функцию «корыто»)
t
y
-
y=1
y=1- - -; kZ.
-
Ответ:{[-
Пример 5 (самостоятельно).
.
Ответ: {2πk, kZ}.
Пример 6.
Решить неравенство:
.
Решение:
Рассмотрим две функции:
f(x)=; g(x)=
f(x)g(x).
Определим множество значений для каждой функции:
f(x)= , т.к. -1≤ , то 1/3≤≤1D(f)=[1/3; 1]
g(x)= , т.к. ,.то
1≤≤2 D(g)=[1;2]
f(x)g(x)
Ответ:{}
Пример 7 Самостоятельно).
Решить неравенство:
.
Ответ:{.
Пример 8.
Найти область определения функции:
y=arcsin(3x+4).
Решение:
Область определения данной функции:
3х+4≤1х+
-
-1
-
х
Ответ:D(f)=[-
Пример 9 (самостоятельно).
Найти область определения функции:
y=arccos(2-5x).
Ответ: [1/5; 3/5].
Пример 10.
Решить уравнение:
(x2-8)+3x2+16x+8=0.
Решение:
О.д.з.:х2-8≤17≤х2≤9 √7≤х≤3.
х
-3
3
-√7
√7
О.д.з.:х[-3; -√7]∪[√7; 3].
Т.к.
x2-8+3x2+16x+8=0 4x2+16x=0 x(x+4)=0
Ответ:∅
Пример 11(самостоятельно).
Решить уравнение:
Ответ:{2}.
Пример 12 (самостоятельно).
Вычислить: *(.
Ответ:√5.
Пример 13 (самостоятельно).
Вычислить:
3, если 2,5.
Ответ: 5
Пример 14.
Вычислить:
-
;
-
;
-
;
-
Решение:
1)==.
Пусть arctg()=𝛂
√3
4
c
α
c=
Ответ:
==.
Пусть arcctg(1/√7)=𝛂
√7
1
c
α
c=
Ответ: .
3)==.
Пусть=𝛂
2
√5
а
α
а=
tg𝛂==2
Ответ:-2.
-
4)==-
Пусть =𝛂
7
b
√7
α
b=
ctg𝛂==
Ответ:-
Пример 15 (самостоятельно)
Вычислить:
-
arccos);
-
tg(arcctg(-2/5);
-
;
-
;
-
tg(arc);
-
ctg(arc
Ответ: 1); 2)-2,5; 3) ;4)√5/3; 5)-1; 6) -1/√5.
Пример 14.
Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках.
1. y= 2 sin ; х1= х2=-
2. y= - cos ; х1= х2=-
3. y= 5 tg; х1= х2= -
4. y=ctg; х1= х2= -
5. y= 2 sin3x+1 ; х1= х2= -
6. y= 4 cos-1; х1= х2= -
7. y=sin2x; х1= х2= -
8. y=cos2 2x ; х1= х2=-
Решение:
Заметим, что для функций y=sin x и y=cos x основной период
Т=2.
Для функций y=tg x и y=ctg x основной период
Т=.
Bычислим значения функций в указанных точках.
1. y= 2 sin ; х1= х2=-
По свойствам периодических функций Т=2
y=2sin=2sin =2sin (0)=0
y=2sin=-2sin=2sin=2sin=1
Ответ: Т=2; у=0; у=1
2. y= - cos ; х1= х2=-
По свойствам периодических функций Т=2
y= - cos=- cos=- cos=
y=- cos=- cos=- cos= 0
Ответ: Т=2; y=; y= 0
3. y= 5 tg; х1= х2= -
По свойствам периодических функций Т=
y= 5tg = 5tg = - 5tg0=0
y= 5tg= 5tg= 5tg=5tg=5
Ответ: Т=; y=0 ; y=5
4. y=ctg; х1= х2= -
По свойствам периодических функций Т=
y=ctg=ctg=ctg=
=ctg=
y=ctg=ctg=-ctg=
=ctg=-
Ответ: Т=; y= ; y=-
5. y= 2 sin3x+1 ; х1= х2= -
По свойствам периодических функций Т=
y=2 sin +1=2 sin +1=2 sin+1=2 sin+1=3
y=2 sin +1=2 sin =2 sin+1=2 sin+1=-2+1=1-
Ответ: Т=; y=3 ; y=1-
6. y= 4 cos-1; х1= х2= -
По свойствам периодических функций Т=2 : =6𝛑
y=4cos-1=4cos-1=4cos-1==4cos-1=4-1=2-1
y=4cos-1=4cos-1=4cos-1=
4cos-1==2-1
Ответ: Т=6π ; y=2-1 ; =2-1
7. y=sin2x ; х1= х2= -
y=sin2x y=
По свойствам периодических функций Т=2𝛑:2= 𝛑
y====
=
y====
=
Ответ: Т=π ; y= ; y=
8. y=cos2 2x ; х1= х2=-
y=cos2 2x y=(1+cos4x)
По свойствам периодических функций Т=
y=====
=
y====
=
Ответ: Т= ; y=; y=