Глава 2. Модуль вещественного числа. Решение уравнений и неравенств со знаком модуля.

f(x)=

§1 Простейшие уравнения со знаком модуля.

1. f(x)=a

2. f(x)=g(x)

3. f(x)=g(x)

частный случай:х-а=х-в  х=

4. f(x)+g(x)=0 

Пример 1

Решить уравнения:

1. 5-3х=2; 2) х²-13х+40=0; 3) 4-х²=-2.

Решение:

1) 5-3х=2 

Ответ:{1;}

2. х²-13х+40=0  х²-13х+40=0

Ответ:{5;8}

3. 4-х²=-2 Ответ:

Пример 2

Решить уравнения:

1. х²-5х-6=2х-12; 2) х²-3х-10=2х+14; 3) х²-25=-30-6х;

4. х²-7х+18=2х-2; 5) х²+5х+13=-2х+1.

Решения:

1) х²-5х-6=2х-12 О.Д.З. 2х-120 х6

Заметим, что х²-5х-60 при х6, т.к. х²-5х-6=(х-6)*(х+1)

-

+

+

-1

6

х²-5х-6= х²-5х-6 х²-5х-6=2х-12  х²-7х+6=0 

Ответ: {6}

2. х²-3х-10=2х+14  



Ответ:{-5;8}

3) х²-25=-30-6х О.Д.З. -30-6х0 х≤-5

Заметим, что х²-250 при х≤-5 т.к. х²-25=(х-5)*(х+5)

-

+

+

-5

+5

х²-25= х²-25  х²-25=-30-6х  х²+6х+5=0  Ответ: {-5}

4) х²-7х+18=2х-2  



Ответ : {4;5}

5. х²+5х+13=-2х+1   

Ответ: {3;4}

Пример 3 Решить уравнения:

1. 2х²+3х+5=2х²+3х-3 ; 2) х³+х-1=х³+х+5; 3) х²-4х+8=х²-14;

4)х³-27+х²-4х+3=0; 5) -1+х⁴-5х²+4=0

Решения:

1. 2х²+3х+5=2х²+3х-3; пусть 2х²+3х=t t+5=t-3 t==-1

2х²+3х=-1

Ответ: {-0,5; -1}

2. х³+х-1=х³+х+5; пусть х³+х=t  t-1=t+5  t==-2

х³+х=-2 х³+х+2=0  (x³+1)+(x+1)=0 (x+1)(x²-x+2)=0  x=-1

(x²-x+2

Ответ: {-1}

3. х²-4х+8=х²-14   



Ответ: {-1;3;5,5}

4)х³-27+х²-4х+3=0    x=3

Ответ: {3}

5) -1+х⁴-5х²+4=0     x=2

Ответ: {2}

Пример 4

Решить уравнение:

х-3-2х+1=х-4

Решение:

х-3-2х+1=х-4

х-3=0 х=3; 2х+1=0  х=-0,5

х-3

2х+1

3

-0,5

+

-

-

-

+

+

 Ответ:{1,5}

Пример 5

Решить уравнения (самостоятельно)

1. 7+12х=4; 2) х⁴-27х=0; 3) 5-х³+х=-1

Ответ:1){-;}; 2) {0;3}; 3) .

Пример 6

Решить уравнения (самостоятельно)

1. х²-7х+6=х-6; 2) х²-10х+2=-5х+54; 3) 49-х²=-3х-21;

4. х²-4х+3=2х+10; 5) х²+9х+8=4х+2.

Ответ: 1){6}; 2) {7;8;};3) {-7}; 4) {-1;7}; 6)

Пример 7

Решить уравнения (самостоятельно)

1. 4х²-6х-1=4х²-6х-7; 2) 2х³-х=2х³-х-2; 3)х²+2х+10=х²-50;

4)х³+125+х²+4х-5=0; 5) -1+х⁴-10х²+9=0.

Ответ: 1){-0,5;2}; 2) {1}; 3) {-30;-5;4}; 4) {-5};5){-1}

Пример 8

Решить уравнение (самостоятельно)

3х+1-х+2=4-2х.

Ответ: {}

§2 Простейшие неравенства со знаком модуля.

1. х≤а (а>0)

   -а

   а

   0

   х

Ответ: х[-a;a].

2. x-x₀≤a (a>0)

   x₀-a

   x₀+a

   x₀

   x

Ответ: x[x₀-a;x₀+a]

3. xa (a>0)

   a

   -a

   0

   x

Ответ: x(

4. x-x₀a (a>0)

   x₀-a

   x₀+a

   x₀

   x

Ответ: x-a][x₀+a;+

5. f(x)≤a (a>0) 

6. f(x)a (a>0) 

7. 0  f(x)>0

8. ≤0  f(x)0

9. 

10. f(x)g(x) 

11. f(x)g(x)   (f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))0

12. f(x)≤g(x)   (f(x)-g(x))*(f(x)+g(x))≤0